Френс үш жағы элементтерінің теңдеулері

1- жағдай. Қисық табиғи параметр S арықылы берілсін

= (S) = x(s) +y(s) +z(s) (58-13)

Онда ол қисық жанама болады.

Сондықтан қисық жанамасының бағыттаушы векторы болады. Бас нормал векторы болтын сондықтан бос бас нормалдың бағыттаушы векторы

(*2) болады. Бинормалдың брлік векторы болғандықтан бинормалдың бағыттаушы екторы мынадай болады.

(3*)

Сонда Қисықтың M_o (x(t_o), (y(t_o), (z(t_o), нүктесінен жүргізілген жанамалың теңдеуі мынадай болады.

а) (58-18)

б) Бас нормалдың теңдеуі мынадай болады (58-20)

в) жанама вектор мен векторларға паралель болатындықтан жанасу жазықтығының теңдеуі мынадай болады. (58-21)

г) Жанама векторға перпендикуляр болғандықтан нормал жазықтың теңдеуі мынадай болады. (58-22)

д) Бас нормалға перпендикуляр болғандықтан түзуленетін жазықтық теңдеуі мынадай болады. (58-23)

2- жағдай. Қисық жалпы параметр t мен берілсін.

(58-24)

Бұл кезде вектор қисыққа жанама болады. Сондықтан қисық жанама сынық бағыттаушы векторы болады, бірақ векторы (1^ll*) дейміз. Сонда (1¹*) болады. Бұдан болады.

Демек вектор векторларға жіктелгендіктен олар бір жазықтықта жатады. Ал, пен жанасу жазықтықтарында жатады. Сондықтан векторды жанасу жазықтығында жатады, болғандықтан векторда сол жазықтықта жатады. Ал, бинормал вектор жанасу жазықтығына перпендекуляр болатын. Сондықтан бинормал бинормал векторы векторлардың векторлық көбейтіндісі мен каллинор болады, яғни болады. Сондықтан дейік.

Мұның бірлік векторы

Сонда бас нормалдың бағыттаушы векторы дейік (3¹*)

Бірлік вектор (3¹¹*)

Сонымен жалпы параметр t кезде жанам түзудің бағыттаушы векторы ={x¹(t), y¹(t), z¹(t), } болады. Бос нормалдың бағыттауыш векторы

{ a₁,a₂,a₃ } болады.

Бинормалдық бағыттауыш векторы ={ b₁, b₂, b₃ } болады.

Жанама вектордың бірлік векторы формуламен табылады.

Бас нормалдың бірлік векторын формуламен табылады.

Бинормалдың бірлік векторы формуламен табылады.

Сондықтан жалпы параметрмен берілген кедегі M₀ (x(to), (y(to), (z(to), нүктеден жүгізілген

а) Жанама түзудің теңдеуі (57-18¹)

б) Бас нормалдың теңдеуі (57-19¹)

в) Бинормалдың теңдеуі (58-20¹)

г) Жанасу жазықтығы жанама түзу мен бас нормалға паралель болатындықтан оның теңдеуі мынадай болады. (58-21)

д) Нормал жазықтық жанама түзуге перпендекуляр болғандықтан оның теңдеуі мынадай болады. x¹(t) (x₀-x₀ (t¹) + (y-y₀ (t)) y₀¹+(z-z_v(t))z_v¹(t)=0 (58-22¹)

е) Түзуленетін жазықтық жанама түзумен бинормалға паралель болатындықтан оның теңдеуі мынадай болады.

(58-231

Ескерту: Бұл теңдеулерді құруда M_o(x_o: y_o: z_o) нүктеден вектор бағытында өтетін түзу теңдеуі болатынын және

M_o(x_o, y_o, z_o) нүктеден векторы перпендекуляр етіп жүргізілетін жазықтық теңдеуі a₁(x-x_o)+ a₂(y-y_o)+ a₃(z-z_o)=0 болатынын және

M_o(x_o, y_o, z_o) нүктеден векторларға паралель етіп жүргізілген жазықтық теңдеуі мынадай

(57-18¹) болатыны ескеріледі.

Френс формулалары

Қисық бойымен М нүкте қозғалғанда ол нүктеден жүргізілген Френс үшжағаның бірлік векторлары , өздерінің бағыттарын өзгертеді. Сол өзгерістерді бұл векторлардан алынған туындылар , сипаттайды сондықтан осы векторларды табайық, яғни оларды , векторларға жіктейік бас нормал түзуінің бағыттаушы векторының бірлік векторы еді. Бұдан S арқылы туынды алсақ бұл бірлік вектор болғандықтан өзінің туындысына перпендекуляр болады.

Ал векор түзуленетін жазықтыққа перпендекуляр еді. Сондықтан түзуленетін жазықтықта жатады. Сөйтіп мен ға компланар болады. Былайша жіктелген

= α +β (*)

Мына · =0 теңбе теңдікті S арқылы дифференциалдасақ · + =0 болады. Орындарына қойсақ Бұған(*) мен = k орындарына қойсақ:

k · + (α + β )=0 бұдан α=-k

Сонда (58-24) =-k + β (58-24а)

= еді, мұны S арқылы дифференциалдасақ = + бұған мен мәндерін қойып

=k + (-k +β )= k x -k +β =0-0-β =-β (58-24б)

Сонымен =k =k

(58-24)

Бұларды сәйкесінше, Френенің бірінші, екінші, үшінші,формулалары дейді.

Мұны =o +k +o

=-k +o +β

=ot-β +o

деп жазсақ, матрицасы болады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: