Беттен қисықтар арасындағы бұрыш.

Д облыста u=u₁(t), v=v(t) және u=u₂(t), v=v₂(t) теңдеулермен екі сызық берілсін. Олар Д облысты F бетке көрінетін гомеоморфизмде

М₀(u_o, v_o) нүктеде қиылысатын L₁, L₂ қиылыстарға көшсін. Бұл қисықтар арасындағы бірінші деп М₀ нүктеден оларға жүргізілген жанамалар арасындағы бұрышты айтады (374-сурет). Eгер бұл қисықтар бойымен дифференциалдауды d және деп белгілесек, онда бұл сызықтарға жүргізілген жанамалар.

d = du+ dv, = δu+ δv бағытта болар еді. (d вектор бағытына мен әсер етпейді. Олар М₀ нүкте үшін тұрақты болады. Сондықтан d бағытты du:dv қатынас анықтайды. Беттегі М нүктенің du:dv бағыты деп d = du+ dv вектор бағытын айтады). d мен жанама векторлары арасындағы бірінші Ө болсын.

Сонда

Сонымен L₁, L₂ қисықтар арасындағы Ө бұрыш мына формуламен табылады.

(60-6)

u сызығы бойынша v=Const, v -сызығы бойында u=const болатындықтан dv=0, δu=0 болады да u мен v сызықтар арасындағы бұрыш

(60-7) формуламен табылады.

Егер координаттық тор ортогонал болса, яғни Ө=90⁰ болса, онда

cosӨ =cos90^o болатындықтан (60-7) ден F=0 болады. Сөйтіп F=0 болатын беттер үшін координаттық тор дара ортогонал болады.

Беттегі қисықтар арасындағы бұрышты өзгертпей бетті түрлендіру конформды түрлендіру делінеді. Географиялық крталар жер бетін конформды кескіндеу болып табылады.

60.4 Бет ауданы F мынадай үш шартқа бағынатын бет болсын: 1-ол қандайда бір жатық беттің бөлігі болсын, 2-ол тұйық дөңгелекке гомеморфты болсын 3 - F тің жиегі үздікті жатық сызық болсын.

Мұндай беттердің ауданының болатындығы математикалық талдау курсында дәлелденеді. Ауданы болатын бетті квадратталынатын бет деп атайды.

F квадратталынатын бет болсын, = (u,v) оның векторлық теңдеуі болсын. (375 сурет) Ол бетті u, v сызықтары координаттық тоорға жіктейді. Сол тордың бірі MM₁M₃M₂ қисық сызықты паралелограмм болсын. Ол 345-б суретте v v

N2 N3

m2 n2 u M3

m m1 u

M M1

а) б)

374-сурет

жеке сызылған М нүкте (u,v) параметр сай келсін. Ол нүктенің радиус векторы = (u, v) болсын. Нүкте u сызығы бойымен қозғалып Δu өсімше алып M мен M, нүктеге келсін, V сызығы бойымен қозғалып Δv өсімше алып М₂ нүктеге барсын. Сонда қисық сызықты паралелограмм төбелерінің координаталары M(u,v), M₁(u+Δu, v), M₂(u, v+Δ v), M₃(u+Δu, v+Δv) болар еді осы кездегі радиус вектор өсімшені.

MM₁= (u+Δu, V)- (u, v), = (u,v+Δv)- (u, v).

болады. Бұл қисық сызықты өсімшелерді түзу сызықты дербес дифференциалдармен, яғни MM₁, MM₂ - лерді _uΔu, _vΔv - лармен алмастырайық.

Сонда MM₁M₂M₃ қима сызықты паралелограмм бетке M нүктеде жанасатын жазықтықта жатқан түзу сызықты MN₁N₂N₃ паралелограммға айналады.

Ол паралелограмның ΔS десек

ΔS=| _uΔu _vΔv|=| _{u v}| ΔuΔv болар еді. Сонда F беттегі барлық паралелограмм аудандарының қосындысы. болар еді.

Ал, | _{u v}|=| _u|| _v| sin ( _u^ _v), _u· _v=| _u|| _v|cos( _u^ _v) болатындықтан, бұларды квадраттап қоссақ | _ux _v|²+| _{u v}|² = | _u|²| _v|² болады.

Бұдан | _{u v}|=| _u|²| _v|² - | _{u v}|² =EG-F² сонымен | _{u v}|² = EG-F²

| _{u v}|= (60-8).

Егер(*) дан Δu мен Δv ны 0-ге ұмтылдырып шекке көшсек шығады.

Сонымен бет ауданы (60-9) формуламен анықталады. Демек беттегі облыс ауданын табу үшінде ол беттегі бірінші квадрат формасын тапса жеткілікті болады екен.

Мұндағы Д қарастырып отырған F бетке сәйкес келетін u мен v ның өзгеру облысы (яғни Д топологиялық бейнесі F болатын жазық облыс(.

Егер бет z=f(x,y) теңдеумен берілсе E=1+f_x², F=f_xf_y, G=1+f_y² болатындықтан (60.1-де айтылған) бұл беттегі облыс ауданы.

(60-10) болады деген.

Бұл кезде Д деген F беттен О_ху жазықтықтағы проекциясы х,у сол облыста өзгеруі керек.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: