Деривациялық формулалар.

(Дериват латнша derivayus- қандайда бір алғашқы нәрсенің туындысы, алғашқы нәрселерден туындайтын нәрселер деген ұғымды білдіреді.

= (u,v) теңдеумен бет берілсін. Бетте M(u,v) нүкте жатсын. Бұл нүктеден өтетін координаттық u,v сызықтардың жанамалары _u, _v ол беттің нормалының бірлік векторы болсын. Онда _u, _v компланар болмайды және ол үштік жасайды. Сондықтан бұларды беттің М нүктесінен жүргізілген репер (координата жүйесі) деп қарасытруға болады. Оны R=( _u, _v ) деп белгілейік.

Сонда кезкелген векторд, оның ішінде _uu, _uv, _vv, _u, _v векторларды да R базиске бір мәнді жіктеуге болады. Олар былай жіктелсін.

(62-1,2,3,4,5)

Мақсат осы жіктелу коэффициенттерін 1-2 квадраттық форма коэфициенттері және олардың u,v арқылы алынған туындылары арқылы табу.

m -бірлік вектор болғандықтан _u, _v, және анықтама бойынша _u, _v сондықтан

болады. Бұлардан

(2)

Осыларды ескере отырып (62)-і -ге көбейтсек

Енді (62-нің әрқайсысын мен - ға көбейтеміз.

(5)-тің алғашқы екеуінен

(62-6)

Сөйтіп (62-1,2,3,4,5)-дегі барлық коэффициенттерді таптық.

Бұл (6)формуладағы (61)-ге қойғаннан кейін өрнекті диривациялық формулалар дейді., ал коэффициенттерді Кристоффель коэффициенттері немесе екінші текті Кристоффель символы дейді, ал яғни (5)-тің алғашқы жұбының оң жағы Кристофельдің бірінші ретті символдары делінеді. (Кристоффель (1829-1900) неміс математигі).

Кристофельдің (2-ретті символдары) коэффициенттері тек беттің бірінші квадраттық формасының коэффициенттері және олардан алынған туындылар арқылы өрнектеледі. Сондықтан олар беттің ішкі геометриясының объектілері болады. Демек беттің ішкі геометриясын оқуға оларды қолдануға болады.

62.4 Гаус теоремасы.

Карл Гаус (1777-1855)-неміс математигі, астраномы, геодезист. Ол бетті параметризациялауды, бірініш және екінші квадраттық форманы ендірген. Беттегі қисықтың қисықтығы, бетті ию кезіндегі қисықтықтың сақталуы, геодезиялық үшбұрыш бұрыштарының қосындысы жайлы теорема.

теорема C^k классты жатық беттің толық қисықтығы тек беттің бірінші квадраттық формасының коэффициенттері және оның туындылары арқылы өрнектеледі.

Дәлелі: Бет = (u, v) теңдеумен берілсін беттің толық қисықтығы формуласымен анықталатын мынадай еді.

Бұдан

Мұндағы

Мұның екіншісімен

Төртіншінен

_uuv= _uvu, _uv= _vu болатын (себебі олар үздіксіз функциялар) ескеріп бір-бірімен шекерсек

( _{uu vv})-( _uv)²=F_uv- G_uu- E_vv

Бұларды орындарына қойсақ

Сонымен теорема дәлелденді. Шынындыда жатық беттегі Толық (Гаустық) қисықтығы беттің бірінші квадраттық формасының коэффициенттері және олрдан u, v арқылы алынған туындылар мен толық анықталады екен. Сондықтан ол беттің ішкі геометриясының объектісі болады.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: