Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Шторм на Галилейском озере (фрагмент). Бостон, Isabella Stewart Gardner Museum




...На озере поднялся бурный ветер, и заливало их волнами, и они были в опасности. И, подойдя, разбудили Его и сказали: Наставник! Наставник! погибаем. Но Он, встав, запретил ветру и волнению воды; и перестали, и сделалась тишина...

(Лк., 8: 23-24)

Хотя во всех этих случаях группы людей соглашаются взаимно обезопасить друг друга, механизм страхования в целом работает так же. Страховые компании используют страховые взносы людей, не по­терпевших потерь, для выплат потерпевшим. Этот же принцип дей­ствует и в казино, где выигрыши оплачиваются из ставок проиграв­ших. Анонимность перемещения денег в рамках страховой компа­нии или казино делает это посредничество менее очевидным. И все же самые изощренные схемы организации страховых компаний и игор­ных домов являются просто вариациями на тему Монте дей Пачи.

В XIV веке страховщики в Италии не всегда выполняли свои обязательства перед клиентами, и случаи недовольства известны. Флорентийский купец Франческо ди Марко Датини, торговавший в Барселоне и Саутгемптоне, жалуясь на своих страховщиков, писал жене: «Те, кто страхует, им хорошо, когда берут деньги; но когда приходит несчастье, всё меняется, и все отворачиваются, стараясь увильнуть от уплаты»24. Франческо знал, о чем говорил, потому что после его смерти осталось четыреста судовых страховых полисов.

Активизация страхового бизнеса получила толчок примерно в 1600 году. Слово «полис», уже бывшее к тому времени в употребле­нии, происходит от итальянского polizza, что означает 'обещание' или 'соглашение'. В 1601 году Фрэнсис Бэкон внес на рассмотре­ние парламента билль о регламентации полисов, которые «имели хождение среди купцов королевства и других наций».

 

Прибыль от вложений в товары, которые нужно перевезти морем на большие расстояния, прежде чем они попадут на рынок, зависит не только от погоды. Она зависит также от обоснованной оценки по­требительского спроса, уровня цен и моды в момент прибытия судна, не говоря уже о затратах на покупку, доставку и продажу товара. Поэтому предсказания, которыми долгое время гнушались как за­нятием в лучшем случае тщетным, в худшем — греховным, стали в XVII веке абсолютной необходимостью для предприимчивых лю­дей, желавших своими руками и по своему вкусу устроить собст­венное будущее.

Сейчас деловые прогнозы стали привычными, но в конце XVII века это было большой новостью. Пока математики исключали торговые дела из сферы своих теоретических изысканий, науке об управлении риском приходилось ждать, когда кто-нибудь задаст новые вопросы, которые, подобно вопросам, поставленным Грантом, потребуют выйти за пределы правил игры в balla или в кости. Даже смелые вычис­ления продолжительности жизни, выполненные Галлеем, для него самого были лишь социологическим упражнением или арифметиче­ской игрой, разыгранной, чтобы изумить его ученых коллег; в этом плане показательно, что он не ссылается на теоретическую работу Паскаля о вероятности, опубликованную за тридцать лет до того.

Нужно было преодолеть огромный концептуальный барьер, что­бы осуществить переход от идентификации определенных с неумо­лимой математической точностью шансов к установлению вероятно­сти неопределенных исходов, от сбора сырых данных к принятию решения о том, как их использовать. С этого момента интеллекту­альные достижения становятся во многих отношениях более уди­вительными, чем те, свидетелями которых мы уже были.

Некоторые из первопроходцев черпали вдохновение, глядя на звезды, другие получали его в ходе манипуляций с понятием веро­ятности, какие никогда и не снились Паскалю и Ферма. Но сейчас мы встретимся с фигурой, самой оригинальной из всех: его внима­ние было обращено на вопросы, связанные с богатством людей. Мы черпаем из его ответов чуть ли не ежедневно на протяжении всей нашей жизни.

 

 


 

 

***********************************

 

Глава 6

Нужно учитывать природу человека

За очень короткий срок основные математические открытия Кардано и Паскаля стали применять там, где это прежде счи­талось немыслимым. Сначала Грант, Петти и Галлей исполь­зовали понятие вероятности для анализа необработанных данных. Примерно в это же время автор «Логики» Пор-Рояля внес в измере­ния субъективные элементы, когда написал: «Страх перед ущербом должен быть пропорционален не только величине ущерба, но и ве­роятности его нанесения».

В 1738 году в «Известиях Императорской Санкт-Петербургской Академии наук» появилась статья с интересным тезисом: «Цен­ность чего-либо должна иметь основанием не цену, но скорее полез­ность (utility)»1.( Статья по тогдашнему обыкновению была опубликована на латыни. Латинское на­звание издания, в котором'она появилась, выглядит так: Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Tomus V.). Первоначально статья была представлена Акаде­мии в 1731 году под названием «Specimen Theoriae Novae de Men-sura Sortis» («Изложение новой теории об измерении риска»). Автор любил выделять слова курсивом1'. Это касается и отрывков, приво­димых далее.

Можно только гадать, читал ли автор «Логику» Пор-Рояля, но концептуальная связь между двумя текстами бросается в глаза. Это неудивительно: в XVIII веке интерес к «Логике» охватил всю Запад­ную Европу.

Авторы обеих работ исходят из предположения, что процесс при­нятия любого решения, связанного с риском, имеет два разных, но неразделимых аспекта: объективные факты и субъективные пред­ставления относительно желательности выигрыша или проигрыша. И объективные результаты измерения, и субъективная позиция одинаково важны и в отрыве друг от друга не являются самодоста­точными.

У каждого из двух авторов свои предпочтения. Автор из Пор-Рояля убежден, что лишь питающий патологическое отвра­щение к риску человек принимает решения, учитывая только по­следствия и пренебрегая их вероятностью. Автор «Новой теории» доказывает, что только безумец может основывать свой выбор ис­ключительно на анализе вероятности, не учитывая возможные последствия.

 

Автором санкт-петербургской публикации был швейцарский ма­тематик Даниил Бернулли, которому в ту пору исполнилось 38 лет2. Хотя имя Даниила Бернулли известно в основном только ученым, его статья является одним из наиболее значительных из когда-либо написанных текстов по проблемам как риска, так и человеческого поведения вообще. Сложные взаимосвязи между измерением и воле­выми предпочтениями, на которые он впервые обратил внимание, затрагивают почти все аспекты жизни.

Даниил Бернулли был членом знаменитого семейства. С конца XVII по конец XVIII века восемь Бернулли стали прославленными математиками. Эти люди, как пишет историк Эрик Белл (Bell), произвели «уйму потомков... и большая часть их потомства полу­чила известность, а многие достигли высокого положения — в юрис­пруденции, литературе, науке, на поприще административной дея­тельности и в искусстве. В их роду неудачников не было»3.

Основателем этого клана был Николай Бернулли из Базеля, бо­гатый купец, чьи протестантские предки бежали из католическо­го Антверпена около 1585 года. Николай прожил долгую жизнь с 1623-го по 1708 год и имел троих сыновей: Якоба, Николая (из­вестного как Николай I) и Иоганна. С Якобом мы вскоре встре­тимся, когда пойдет речь об открытом им законе больших чисел и его книге «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»). Сто­ит добавить, что он был одновременно и крупным педагогом, по­учиться у которого стремились студенты со всей Европы, и вы­дающимся математиком, инженером и астрономом. Статистик Вик­торианской эпохи Фрэнсис Гальтон описывает его как человека с «желчным и меланхоличным характером... уверенного, но мед­лительного»4. Его отношения с отцом были настолько скверными, что он взял себе девиз Invito patre sidera verso (Среди звезд вопреки отцу)6.

Гальтон не ограничивается язвительной характеристикой од­ного Якоба. Хотя семья Бернулли служила замечательным под­тверждением его теории евгеники, в своей книге «Наследственная одаренность» («Hereditary Genius») он характеризует семью Бер­нулли в целом как людей «преимущественно сварливых и завист­ливых»6.

Похоже, что этими чертами действительно обладало большин­ство представителей семейства. Младшего брата Якоба, Иоганна, тоже математика и отца Даниила, историк науки Джеймс Нью­мен описывает как «вспыльчивого, бестактного... и при случае нечестного» человека2*7. (Мне трудно охарактеризовать Ньюмена, хотя его «Мир математики» («The World of Mathematics») использовался мной при написании этой книги в качестве основного источника. Он изучал философию и математику, а стал преуспевающим юристом и чиновником. Будучи некоторое время председателем Редакционного совета «Scientific American», он стал страстным собирателем научных документов большого истори­ческого значения. Умер он в 1966 году).

 

Когда Даниил получил премию Фран­цузской Академии наук за работу об орбитах планет, отец, сам претендовавший на эту премию, выбросил его из дома. Ньюмер сообщает, что Иоганн дожил до 80 лет, «до конца сохранив и си­лы, и мерзкий характер».

А ведь был еще сын среднего брата, Николая I, известный как Николай II. Когда дядя Николая II Якоб в 1705 году умер после тяжелой болезни, не успев завершить работу над «Ars Conjec-tandi», Николай II, которому было в ту пору только восемнад­цать, получил предложение подготовить работу к опубликованию. На это ушло восемь лет! В предисловии к изданию Николай II признал, что сильно затянул с изданием книги, и приводил в ка­честве оправдания «постоянные разъезды» и тот факт, что он был «слишком молод и неопытен для завершения этой работы»8.

Возможно, промедление пошло на пользу делу — за эти во­семь лет он собрал мнения ведущих математиков того времени, включая Исаака Ньютона. Он не только вел активную переписку, но и ездил в Лондон и Париж для личных консультаций с из­вестными учеными. Кроме того, он внес ряд собственных конст­руктивных математических дополнений, включая анализ исполь­зования предположений и теории вероятностей в применении, к юриспруденции.

Для полноты картины отметим, что у Даниила Бернулли был брат пятью годами старше, тоже Николай, которого принято на­зывать Николаем III, считая его деда Николаем без номера, его дядю Николаем I, а его первого старшего кузена Николаем И. Этот Николай III сам был выдающимся ученым и обучал мате­матике Даниила, когда тому было одиннадцать лет. Иоганн по­ощрял занятия математикой своего старшего сына, Николая III, который к восьми годам говорил на четырех языках, а к де­вятнадцати уже получил степень доктора философии в Базеле; в 1725 году, когда ему исполнилось тридцать, он стал профессо­ром математики в Санкт-Петербурге и через год умер от какой-то лихорадки.

Даниил Бернулли получил приглашение в Санкт-Петербург одно­временно со своим братом Николаем III и оставался там до 1733 года, после чего возвратился в родной Базель и стал профессором физики и философии. Он входил в число первых выдающихся ученых, кото­рых Петр Великий пригласил в Россию в надежде превратить свою новую столицу в интеллектуальный центр Европы. По свидетель­ству Гальтона, он был «врачом, ботаником, анатомом, специали­стом по гидродинамике; не по годам развитым»9. Кроме того, он был выдающимся математиком и статистиком, проявлявшим осо­бый интерес к теории вероятностей.

Бернулли был типичным представителем своего времени. XVIII век стал веком разума, сменившего страсти бесконечных религиозных войн предыдущего столетия. Когда кровавые войны затихли, на смену неистовству Контрреформации и характерной для искусства барокко эмоциональности пришла тяга к порядку и классическим формам. Уравновешенность и уважение к разуму были отличитель­ными чертами эпохи Просвещения. Совершенно в духе своего вре­мени Бернулли трансформировал мистицизм «Логики» Пор-Рояля в логическую конструкцию, адресованную людям, решениями ко­торых руководит разум.

 

Санкт-петербургская статья Даниила Бернулли начинается с из­ложения тезиса, который он намеревается атаковать:

С тех пор как математики занялись измерением риска, было общепри­нятым следующее предположение: ожидаемое значение случайной ве­личины вычисляется умножением всех возможных значений на число случаев, в которых эти значения могут иметь место, и делением суммы этих произведений на общее число случаев 3^10.

3' Дядя Даниила Якоб, которому отведена важная роль в следующей главе, однажды напи­сал, что «ожидаемая величина всегда оказывается чем-то средним между лучшим, на что мы можем надеяться, и худшим, чего мы можем опасаться» [Hacking, 1975, р. 144].

 

Бернулли находит это предположение недостаточным для опи­сания процесса принятия решения в реальной жизни, потому что оно учитывает только факты и игнорирует отношение к вероятным исходам личности, которая должна принять решение в условиях неопределенности. Знания цены и вероятности еще недостаточно для определения ценности исхода. Хотя факты для всех одинако­вы, «полезность... в каждом отдельном случае зависит от личности, делающей оценку... Нет оснований предполагать, что... риск, вос­принимаемый каждым по-своему, может оцениваться одинаково». Каждому свое.

Понятие полезности постигается интуитивно. Оно ассоциирует­ся с пользой, желательностью или удовлетворением. Понятие, вы­зывающее неприязнь Бернулли, — «ожидаемое значение» — носит скорее технический характер. Как указывает Бернулли, ожидаемое значение равно сумме произведений значений величины в некото­ром числе возможных исходов на вероятности этих исходов, де­ленной на общее число всех возможных исходов. Отметим, что ма­тематики вместо термина «ожидаемое значение» до сих пор иногда используют термин «математическое ожидание».

У монеты две стороны, орел и решка, каждая может выпасть с вероятностью 50%, поскольку не могут обе стороны одновременно смотреть вверх. Каков ожидаемый результат бросания монеты? Мы умножаем 50% на один для орла, делаем то же самое для решки, берем сумму — 100% — и делим на два. Ожидаемое значение при бросании монеты равно 50%. Орел и решка выпадают с одинако­вой вероятностью.

Каково ожидаемое значение при бросании двух костей? Если мы сложим 11 возможных чисел — 2+3+4+5+6+7+8+9+ + 10 + 11 + 12, то в сумме получим 77. Ожидаемое значение от бросания двух костей равно 77/ц, или ровно 7.

Однако эти 11 чисел выпадают не с одинаковой вероятностью. Как показал Кардано, некоторые числа должны появляться чаще других, потому что при бросании двух костей возможны 36 разных комбинаций двух чисел, которые в сумме дают 11 возможных зна­чений от 2 до 12; например, два получается только при варианте дубль-один, а четыре — в результате трех исходов, а именно: 3 + 1, 1 + Зи2 + 2. Полезная таблица Кардано (с. 70) показывает число комбинаций, дающих каждый из 11 исходов:

 

Исход Вероятность Взвешенная вероятность
V86 2 х Vae = 0,06
2/36 Зх 2/36 = 0,17
3/36 4 х 3/36 = 0,33
4/36 5 х 4/36 = 0,56
5/36 5/36 = 0,83
6/36 7 х 6/36 = 1Д7
5/36 5/36 = 1Д1
4/36 9 х 4/36 = 1,00
3/36 10 X 3/36 = 0,83
2/36 11 X 2/36 = 0,61
Vse 12 х Vse = 0,33
Итого = 7,00

Ожидаемое значение, или математическое ожидание, при броса­нии двух костей равно 7, что соответствует результату нашего пре­дыдущего подсчета 77/ц. Теперь ясно, почему семерка играет та­кую важную роль в игре в крепе.

Бернулли согласен, что такие расчеты хороши для случайных игр, но настаивает на том, что в повседневной жизни дело обстоит иначе. Даже если вероятности известны (упрощение, впоследствии отвергнутое математиками), разумный человек, принимая реше­ние, постарается максимизировать скорее ожидаемую полезность (или степень удовлетворения), чем ожидаемое значение. Ожидае­мая полезность вычисляется с использованием тех же методов, что и ожидаемое значение, но оценивается с учетом весомости фактора полезности11.

Например, Антуан Арно, почтенный автор «Логики» Пор-Рояля, обвинял людей, боящихся раскатов грома, в переоценке того, на­сколько мала вероятность попадания в них молнии. Он был не прав. Не они, а он кое-что игнорирует. Факты одни и те же для всех, и да­же тот, кто приходит в ужас от первого раската грома, прекрасно осознаёт, насколько мала вероятность попадания молнии именно в то место, где он находится. Ситуацию прояснил Бернулли: люди, боящиеся попадания в них молнии, придают такой вес последстви­ям этого исхода, что, сколь бы мала ни была его вероятность, само ее наличие способно ужаснуть.

Оценка исхода превалирует над измерением. Порасспросите-ка пассажиров самолета, попавшего несколько раз подряд в воздуш­ные ямы, одинакова ли у них степень беспокойства. Большинство людей прекрасно знают, что в наше время полет на самолете безо­паснее езды на автомобиле, но некоторые пассажиры доставят не­мало хлопот стюардессам, в то время как другие в это время спо­койно вздремнут.

И это хорошо. Если бы все стали оценивать риск одинаково, мно­гие благоприятные возможности были бы упущены. Азартные люди предпочитают большую и маловероятную выгоду более вероятной, но малой выгоде. Других мало привлекает вероятность выигрыша, потому что их заветной целью является сохранение того, что у них есть. Один видит солнце, другой ждет грозы. Без авантюристов Зем­ля вращалась бы медленнее. Представьте себе, во что превратилась бы наша жизнь, если бы каждый боялся выходить во время грозы, летать на самолете или вкладывать деньги в новые предприятия. Нам повезло, что люди по-разному относятся к риску.

 

Стоило Бернулли высказать свой основной тезис о том, что лю­ди по-разному оценивают одни и те же значения риска, как он пришел к кардинальной идее: «Польза от небольшого увеличения богатства обратно пропорциональна величине уже имеющегося богатства». Далее он замечает: «Что касается человеческой при­роды, мне кажется, что предлагаемую гипотезу можно счесть при­годной для понимания поведения многих людей, в отношении ко­торых это сравнение имеет смысл».

Гипотеза о том, что польза от прироста обратно пропорциональ­на величине уже имеющегося богатства, является одним из вели­чайших интеллектуальных достижений в истории идей. Меньше чем на одной странице процесс вычисления вероятностей превра­щен в процедуру подключения субъективных соображений к про­цессу принятия решений в ситуациях с неопределенными исходами.

Бернулли блистательно сформулировал мысль о том, что в от­личие от фактов, дающих однозначный ответ на вопрос об ожидае­мом значении (факты для всех одни и те же), субъективный про­цесс оценки этого значения приводит к такому же количеству от­ветов, сколько людей в нем участвуют. Но и это еще не всё; даль­ше он предлагает методику подхода к определению того, насколько сильно и много или мало чего-то хочет каждый, принимающий решение: объем и степень пожеланий обратно пропорциональны количеству того, что уже есть.

Впервые в истории Бернулли применил измерение к чему-то, чего нельзя сосчитать. Он обвенчал интуицию с измерением. Кар-дано, Паскаль и Ферма создали метод вычисления риска при бро­сании костей, но Бернулли подвел нас к рискующему, к игроку, решающему, сколько поставить и ставить ли вообще. Если теория вероятностей рационализирует выбор, то Бернулли определяет мо­тивацию личности, которая выбирает. Фактически он указал на новый предмет изучения и заложил интеллектуальные основы то­го, что позднее нашло применение не только в экономической тео­рии, но и в общей теории принятия решений в разных жизненных ситуациях.

 

В своей статье Бернулли приводит ряд интересных примеров, иллюстрирующих его идеи. Самым интригующим и знаменитым из них стал так называемый петербургский парадокс, предложенный его «глубоко почитаемым кузеном, славным Николаем Бернул­ли» — медлительным издателем «Ars Conjectandi». Николай пред­ложил игру между Петром и Павлом, в которой Петр бросает мо­нету до тех пор, пока не выпадет орел. Петр должен заплатить Павлу один дукат, если орел выпадет в первом броске, два дуката, если орел выпадет во втором броске, четыре — в третьем броске, и так далее. С каждым следующим броском число дукатов, которые Петр должен заплатить Павлу, удваивается4).

Ричард Силла и Леора Клаппер помогли мне составить представление о ценности дуката в начале XVIII века. В это время дукат был эквивалентен приблизительно 40 современным долларам. Уильям и Хильда Бомол подтверждают эту оценку [Baumol W.t Baumol H., 1994, Appendix]. См. также: [McKuster, 1978; Warren, Pearson, 1993].

 

Сколько должен заплатить Павлу за право занять его место в этой игре тот, кто захо­чет загрести порядочную сумму?

Причину парадокса Бернулли усматривает в том, что «приня­тый метод вычисления [ожидаемого значения] на деле делает оценку перспектив Павла бесконечно большой, [но] никто не захочет купить [эти перспективы] за достаточно высокую цену... Каждый сколь­ко-нибудь разумный человек с большим удовольствием продаст свой шанс за двадцать дукатов» 5>.

Бернулли провел подробный математический анализ проблемы, основанный на предположении, что польза от приращения богатства обратно пропорциональна первоначальному богатству. В соответст­вии с этим предположением сумма, которую Павел может выиграть на двухсотом броске, принесет ему бесконечно малую добавочную пользу по сравнению с тем, что он должен был накопить к сто пер­вому броску; даже к пятьдесят первому броску у него уже должно быть более 1 000 000 000 000 000 дукатов. (Для сравнения отметим, что национальный долг правительства США составляет ныне в дол­ларах сумму, представляемую четверкой с двенадцатью нулями.)

В дукатах или в долларах, оценка ожиданий Павла долгое вре­мя привлекала внимание ведущих математиков, философов и эко­номистов. В истории математики англичанина Исаака Тодхантера, опубликованной в 1865 году, содержатся многочисленные ссылки на петербургский парадокс и обсуждаются некоторые решения, предложенные математиками за годы, прошедшие после опублико­вания статьи Бернулли12. Между тем многие годы статью Бернулли можно было прочесть только в оригинале на латыни, пока в 1896 го­ду не появился первый немецкий перевод. Внимание математиков к петербургскому парадоксу резко возросло после того, как Джон Мейнард Кейнс сослался на него в своем «Курсе теории вероятно­сти» («A Treatise of Probability»), опубликованном в 1921 году. Но только в 1954 году — через 216 лет после первой публикации — статья Бернулли появилась в английском переводе.

' Предложенное Бернулли решение парадокса подвергалось критике, потому что он не рассматривал игру, в которой ставки будут расти быстрее, чем определил Николай. Тем не менее, поскольку с некоторого момента заинтересованность игрока становит­ся пренебрежимо малой, процесс в конечном счете приведет к тому, что для Павла игра потеряет смысл независимо от скорости роста ставок.

 

Петербургский парадокс — это нечто большее, чем академиче­ское упражнение в описании и истолковании вероятностных аспек­тов бросания монеты. Представьте себе крупную растущую компа­нию со столь блестящими перспективами роста, что они представ­ляются бесконечными. Даже при абсурдном предположении, что мы сможем точно предсказать прибыли компании в бесконечно дале­ком будущем — обычно мы радуемся, когда это удается на квартал вперед, — какой должна быть цена акций этой компании? Беско­нечной? 6)

Бывают моменты, когда серьезные, трезвые, опытные инвесторы подпадают под власть подобных несбыточных надежд, — моменты, когда о вероятностных законах забывают. В конце 60-х и начале 70-х годов нынешнего столетия портфельные менеджеры крупней­ших корпораций настолько соблазнились идеей общего роста курсов, и прежде всего роста так называемых акций Nifty-Fifty, что готовы были платить любые деньги за право владения акциями таких ком­паний, как Xerox, Coca-Cola, IBM и Polaroid. Эти менеджеры усмат­ривали риск не в возможности переплатить за акции Nifty-Fifty, a в опасности их упустить: перспективы роста казались настолько бесспорными, что считалось, что уровень грядущих прибылей и ди­видендов, Бог даст, всегда оправдает любую цену. Они считали риск переплаты мизерным по сравнению с риском при покупке акций та­ких компаний, как Union Carbide или General Motors, чьи перспек­тивы казались неопределенными из-за цикличности котировок и жесткой конкуренции.

Ажиотаж дошел до того, что в конце концов рыночная цена та­ких мелких компаний, как International Flavors и Flagrances, с объемом годовых продаж всего 138 миллионов долларов сравня­лась с ценой «менее обаятельных» гигантов типа U.S. Steel с годо­вым объемом сбыта в 5 миллиардов долларов. В декабре 1972 года акции Polaroid шли по цене, в 96 раз превышающей прибыль на акцию за 1972 год, акции McDonald's — в 80 раз, акции IFF — в 73 раза; в то же время акции индекса Standard & Poor's 500 в це­лом шли по цене, только в 19 раз превышающей величину прибы­ли на акцию. При этом в среднем дивиденды на акцию Nifty-Fifty не достигали и половины среднего уровня дивидендов на акции индекса Standard & Poor's 500.

Этот специфический пудинг надо было съесть, чтобы понять, на­сколько он горек на вкус. На деле ослепительные перспективы ока­зались весьма скромными. К 1976 году цены на акции IFF снизи­лись на 40% , а котировка акций U. S. Steel выросла в два с лишним раза. Доход акционеров компаний, входящих в индекс S & Р 500, к концу 1976 года превысил предыдущее пиковое значение, а акции компаний Nifty-Fifty до июля 1980 года не могли обеспечить уровень доходов, достигнутый в 1972 году. Хуже того, с 1976-го по 1990 год эффективность равновзвешенного портфеля акций Nifty-Fifty была значительно ниже, чем у индекса S & Р 500.

Но как можно инвестировать с расчетом на бесконечность? Джереми Сигел (Siegel), профессор Уортонской школы бизнеса в Пенсильванском университете, подробно просчитал эффектив­ность акций Nifty-Fifty с конца 1970 года по конец 1993-го13. Равновзвешенный портфель из пятидесяти акций Nifty-Fifty, да­же купленных в момент пика в декабре 1972 года, принес к кон­цу 1993 года совокупный доход, почти на один процентный пункт меньший, чем индекс S & Р 500. Если бы этот портфель купили двумя годами раньше, в декабре 1970 года, доходность портфеля опережала бы доходность индекса S & Р 500 на один процентный пункт в год. Да и в нижней точке спада в 1974 году отрицатель­ный разрыв между внутренней стоимостью и рыночной ценой был бы меньше.

Для поистине терпеливых людей, которые лучше всего себя чувствуют, имея акции известных и солидных компаний, с чьей продукцией они сталкиваются в быту, инвестиции в Nifty-Fifty могли бы принести известную пользу. Но этот портфель показался бы малопривлекательным для не столь терпеливых инвесторов, кому не понравилось бы иметь портфель из 50 акций, 5 из кото­рых в течение двадцати одного года приносили бы только убытки, 20 приносили бы меньше, чем можно заработать на 90-дневных ка­значейских векселях, и только 11 приносили бы больше, чем ин­декс S & Р 500. Но, как сказал бы за стаканом вина сам Бернулли, человек получает то, на что он ставит.

 

Бернулли ввел еще одно новое понятие, которое современные экономисты считают 'движущей силой экономического развития, — человеческий капитал. Понятие выросло из определения богатства как «чего угодно, что может содействовать адекватному удовлетво­рению каких-либо желаний... В этом смысле никто не может ска­зать, что у него ничего нет, пока он не умер от голода».

Какие формы принимает богатство большинства людей? Бернул­ли говорит, что материальные активы и финансовые права пред­ставляют собой меньшую ценность, чем способность к продуктивной деятельности, даже если это умение нищенствовать. Он утверждает, что человек, умеющий добыть 10 дукатов в год за счет подаяния, по-видимому, отказался бы от вознаграждения в 50 дукатов в обмен на отказ от сбора милостыни в будущем: потратив эти 50 дукатов, он не знал бы, на что жить. Но должна же быть какая-то сумма, за которую он согласился бы навсегда отказаться от сбора милостыни? Если для этого достаточно, к примеру, 100 дукатов, «мы можем ска­зать, что состояние нищего оценивается в 100 дукатов».

Сегодня мы рассматриваем идею человеческого капитала — со­вокупность образования, природных талантов, квалификации и опыта, являющуюся источником будущего заработка, — как осно­вополагающую для понимания важнейших аспектов мировой эко­номики. Человеческий капитал играет ту же роль для наемного работника, какую семена и сельскохозяйственные орудия для фер­мера. Несмотря на огромный прирост материального богатства с 1738 года, для огромного большинства людей человеческий капи­тал все еще остается главным источником дохода. Если бы это бы­ло не так, к чему столь многим кормильцам вкладывать зарабо­танные тяжелым трудом деньги в страхование жизни?

Для Бернулли случайные игры и абстрактные проблемы были только средствами для иллюстрации его основного довода, касаю­щегося стремления к богатству и использованию благоприятных возможностей. Он акцентирует внимание скорее на процессе при­нятия решений, чем на математических тонкостях теории вероят­ностей. Он сразу провозглашает, что хочет установить «правила, которыми сможет руководствоваться всякий, желающий уяснить свои перспективы в рискованных предприятиях, связанных с оп­ределенными финансовыми обстоятельствами». Эти слова являют­ся зерном для мельницы любого современного финансиста, менед­жера и инвестора. Риск перестал быть просто столкновением с не­зависящими от нас обстоятельствами; теперь его понимают как на­бор возможностей, открытых для выбора.

Используемое Бернулли понятие пользы наряду с его утвержде­нием об обратной зависимости между степенью удовлетворенности определенным приращением богатства и объемом наличного богат­ства было настолько здравым, что оказало весомое влияние на ра­боты крупных мыслителей последующих поколений. Понятие по­лезности легло в основу закона спроса и предложения — впечат­ляющего достижения экономистов Викторианской эпохи, которое стало исходным пунктом для понимания того, как функционируют рынки и как покупатели и продавцы договариваются о цене. По­нятие полезности оказалась столь продуктивным, что в последую­щие двести лет превратилось в основной инструмент объяснения процесса принятия решения и теории выбора в областях, весьма далеких от финансовых операций. Теория игр — изобретенный в XX веке подход к принятию решений в войне, политике и бизне­се — сделала понятие полезности неотъемлемой частью единого системного подхода.

Понятие полезности оказало решающее влияние на психологию и философию, потому что Бернулли предложил стандарт для оцен­ки разумности человеческого поведения. Например, люди, для ко­торых полезность богатства растет вместе с его ростом, считаются большинством психологов и моралистов невротиками; алчность не привлекала Бернулли, не вписывается она и в современные пред­ставления о рациональности.

Теория полезности требует от разумного человека способности оценивать полезность при любых обстоятельствах и, руководству­ясь этой оценкой, делать выбор и принимать соответствующие ре­шения — высокая планка, если учесть, что нам всю жизнь прихо­дится действовать в условиях неопределенности. Работа явно не­легкая, даже если, как предполагал Бернулли, факты для всех од­ни. Но во многих случаях факты все-таки не для всех одинаковы. У каждого своя информация, и к тому же каждый склонен окра­шивать ее по-своему. Даже самые разумные люди часто не могут договориться о том, что значат те или иные факты.

Каким бы современным ни казался Бернулли, он был типич­ным представителем своего времени. Его понимание разумности человеческого поведения прекрасно вписывается в интеллектуаль­ную обстановку эпохи Просвещения. Это было время, когда писа­тели, художники, композиторы и политические философы обрати­лись к классическим формам и идее порядка и утверждали, что накопление знаний поможет человечеству проникнуть в тайны бы­тия. В 1738 году, когда появилась статья Бернулли, Александр Поп был на вершине славы. Его поэмы полны ссылок на классиков и предостережений, что «невежество опасно» и что «для понима­ния человечества нужно изучать человека». Вскоре Дени Дидро начал работу над 28-томной энциклопедией, а Сэмюэл Джонсон уже завершал создание первого словаря английского языка. Неро­мантические взгляды Вольтера на общество завоевывали умы ев­ропейцев, а Гайдн в 1750 году определил классические формы сим­фонии и сонаты.

Безудержный оптимизм философии Просвещения ярко проявился в Декларации независимости и оказал решающее влияние на Консти­туцию Соединенных Штатов Америки. Но, увы, их пример и идеи эпохи Просвещения подвигли народ Франции на казнь королевской семьи и на коронацию в алтаре собора Нотр-Дам идола Разума.

 

Мысль о том, что каждый из нас, даже самый разумный, имеет собственный набор ценностей и реагирует на ситуации в соответст­вии с этим набором, была смелой новацией Бернулли, но его ода­ренность проявилась и в понимании необходимости пойти дальше. Сформулировав тезис о том, что полезность благ обратно пропор­циональна их наличному количеству, он открыл нам поразитель­ный путь к пониманию того, как человек в условиях риска делает выбор и принимает решения.

По мнению Бернулли, наши решения имеют определенную и предсказуемую структуру. В рациональном мире мы все хотели бы быть не бедными, а богатыми, но интенсивность нашего желания разбогатеть определяется тем, насколько мы богаты в данный мо­мент. Много лет назад один из моих клиентов, которого я консуль­тировал по поводу инвестиций, при первой же встрече погрозил мне пальцем и предупредил: «Помните, молодой человек, Вы не должны делать меня богатым. Я уже богат!»

Логическим следствием прозрений Бернулли явилось совершенно новое восприятие риска. Если удовлетворение, получаемое от каждо­го последующего приращения богатства, меньше, чем от первого, то ущерб от проигрыша будет всегда превышать полезность от равного по размерам выигрыша. Мой клиент имел в виду именно это.

Представьте себе богатство в виде штабеля, в основании которо­го большой брусок, а поверх него чем выше, тем всё меньшие бру­ски. Каждый брусок, снятый с вершины, будет больше, чем брусок, который вы могли бы на него положить. Ущерб от потери бруска больше, чем польза от добавления еще одного.

Бернулли приводит такой пример: два человека, у каждого по 100 дукатов, решили сыграть в азартную игру, скажем в орлянку, с шансами выигрыша или проигрыша 50 на 50. Каждый ставит на кон 50 дукатов, то есть у каждого равные шансы закончить игру со 150 или с 50 дукатами.

Станет ли разумный человек играть в такую игру? Математиче­ское ожидание для суммы, которой будет обладать каждый после такой игры с равными шансами, те же 100 дукатов (сумма 150 + 50, деленная на 2), с которыми каждый игрок начинал игру. Для каж­дого ожидаемое значение такое же, как если бы они вообще не са­дились играть.

Предложенная Бернулли концепция полезности выявляет асим­метрию, объясняющую непривлекательность такой игры. Весомость потери 50 дукатов в случае проигрыша выше, чем весомость приобре­тения 50 дукатов в случае выигрыша. Так же как с кучей брусков, огорчений от потери 50 дукатов больше, чем радости от выигрыша такой же суммы 7)' (Это упрощение. Полезность любого проигрыша зависит от богатства игрока. Здесь предполагается, что состояния обоих игроков одинаковы). В математическом смысле, если оценивать игру с нулевой суммой с позиций полезности, — это проигрышная игра. Обоим было бы лучше отказаться от такой игры.

Бернулли использует пример, чтобы убедить игроков в том, что они окажутся в убытке даже при честной игре. Этот пессимистиче­ский вывод он выражает следующими словами:

Разумнее вообще не играть в кости... Каждый, участвующий частью своего состояния в случайной игре с равными шансами, поступает не­разумно... Опрометчивость игрока возрастает с возрастанием части его состояния, на которую он ставит в случайной игре.

Большинство из нас согласится с Бернулли, что с точки зрения полезности азартная игра всегда проигрышна. Мы, как говорят пси­хологи, «не предрасположены» или «не склонны» к риску. Смысл этого выражения достаточно любопытен.

Вообразите, что вам нужно сделать выбор: получить в подарок 25 долларов или сыграть в игру, в которой вы имеете равные шан­сы или выиграть 50 долларов, или не выиграть ничего. Математи­ческое ожидание результата игры равно 25 долларам, то есть рав­ноценно подарку, но результат не определен. Нерасположенный к риску человек предпочтет игре подарок. Впрочем, у каждого свое отношение к риску.

Вы можете оценить степень собственной предрасположенности к риску, узнав свой «эквивалент определенности». Каким должно быть математическое ожидание в игре, которую вы предпочли бы подарку? Может быть, 30 долларов, что означало бы, что вы имели бы равные шансы выиграть 60 долларов или ничего? Тогда мате­матическое ожидание выигрыша в 30 долларов будет эквивалентно подарку в 25 долларов. Но может быть, вы согласитесь играть, ко­гда математическое ожидание равно только 26 долларам. Вы мо­жете оказаться в душе рисковым человеком и предпочесть игру с математическим ожиданием, меньшим 25 долларов, т. е. меньшим, чем гарантированная ценность подарка. Такое возможно, напри­мер, в игре, в которой вы можете выиграть 40 долларов, если вы­падет решка, или остаться ни с чем, если выпадет орел, а математическое ожидание составит только 20. Но большинство людей все-таки предпочло бы игру, в которой ожидаемый выигрыш не­сколько превышал бы предложенные в примере 50 долларов. По­пулярные лотереи представляют собой интересное исключение из этого правила, потому что в большинстве лотерей установленная прибыль устроителей настолько велика, что они оказываются чу­довищно несправедливыми по отношению к игрокам.

Здесь вступает в действие важный принцип. Предположим, ваш биржевой маклер рекомендовал вам вложить деньги во взаимный инвестиционный фонд, который инвестирует в самые мелкие ком­пании рынка. За последние 69 лет акции 20% самых мелких ком­паний фондового рынка давали в среднем 18% ежегодного дохода (рост котировок плюс дивиденды). Вообще говоря, это неплохо. Но зато эта часть рынка отличается нестабильностью: для двух третей акций в этом сегменте рынка прибыльность колебалась от -23% до +59%; почти каждый третий год случались убытки и составляли в среднем 20%. Поэтому, несмотря на высокую среднюю прибыль­ность этих акций в длительной перспективе, для каждого отдельно взятого года ситуация представляется в высшей степени неопреде­ленной.

Предположим теперь, что другой маклер предложил в качестве альтернативы покупку 500 акций Standart & Poor's Composite Index. Средний годовой доход по этим акциям за последние 69 лет составил 13%, но две трети времени его колебания были ограниче­ны более узким диапазоном от -11% до +36%, причем отрица­тельные значения в соответствующие годы составили в среднем 13%. Предполагая, что в будущем все будет происходить прибли­зительно так же, как в прошлом, и учитывая, что у вас может не оказаться 70 лет, чтобы оценить свой выбор, удовлетворит ли вас первый вариант с более высоким ожидаемым средним доходом, но и более сильными колебаниями? Какой из двух вариантов вы вы­берете?

 

Даниил Бернулли преобразил сцену, на которой разыгрывается драма взаимодействия с риском. Предложенное им описание того, как люди используют измерения и собственный темперамент в процессе принятия решений в условиях неопределенности, явилось впечатляющим достижением. Как он сам с удовлетворением отме­тил в своей статье, «поскольку все наши предположения полностью согласуются с опытом, было бы ошибкой отвергнуть их как абстракции, опирающиеся на сомнительные гипотезы».

Спустя два столетия мощная критическая атака доказала, что в своих предположениях Бернулли все-таки не достиг полного соот­ветствия опыту, главным образом потому, что его гипотезы о ра­зумности человека оказались более произвольными, чем мог пред­положить этот человек эпохи Просвещения. Но до этого последнего критического натиска на протяжении двух столетий после опубли­кования статьи Бернулли понятие полезности оставалось в центре философских дебатов о разумности человеческого поведения. Сам он вряд ли мог предположить, как долго это понятие будет зани­мать представителей последующих поколений. Правда, в этом бы­ла заслуга ученых, которые пришли к нему самостоятельно, не по­дозревая о новаторской работе Бернулли.

 

 

Глава 7

В поисках

практической

достоверности

Шла Вторая мировая война. Зимней ночью во время од­ного из налетов немецкой авиации на Москву извест­ный советский профессор статистики неожиданно по­явился в своем дворовом бомбоубежище. До тех пор он никогда туда не спускался. «В Москве семь миллионов жителей, — гова­ривал он. — Почему я должен ожидать, что попадут именно в меня?» Удивленные друзья поинтересовались, что заставило его изменить свою точку зрения. «Подумать только! — воскликнул он. — В Москве семь миллионов жителей и один слон. Прошлой ночью они убили слона».

Это современный вариант рассматриваемого в «Логике» Пор-Роя-ля примера с боязнью грозы, хотя и отличается от него мотива­цией личностной установки в условиях риска. Здесь профессор превосходно понимал, насколько мала математическая вероят­ность попасть под бомбу. Его поведение наглядно иллюстрирует двойственный характер всего, что связано с вероятностью: часто­та события в прошлом вступает в конфликт с эмоциональной оценкой действительности и влияет на выбор поведения в усло­виях риска.

Смысл истории этим не исчерпывается. Она перекликается с подходом Гранта, Петти и Галлея: если точное знание будущего и даже прошлого недостижимо, какова достоверность имеющейся у нас информации? Что важнее для принятия решения: семь мил­лионов москвичей или погибший слон? Как мы должны оцени­вать добавочную информацию и как включать ее в оценки, базирующиеся на исходной информации? Является ли теория вероят­ностей математической забавой или серьезным инструментом прог­нозирования?

Теория вероятностей является серьезным инструментом прогно­зирования, но при пользовании им нельзя забывать о том, что, как говорится, дьявол в мелочах, что все зависит от качества информа­ции, на основе которой вероятность оценивается. Эта глава посвя­щена осуществленной в течение XVIII столетия последовательности гигантских шагов, революционизировавших использование инфор­мации и определивших методологию применения теории вероятно­стей в задачах выбора и принятия решений в современном мире.

 

Впервые изучением связей между вероятностью события и ка­чеством исходной информации занялся второй из старших Бернул-ли — Якоб (1654-1705), дядя известного Даниила Бернулли1. Он был еще ребенком, когда Паскаль и Ферма высказали свои замеча­тельные математические идеи, и умер, когда его племяннику Да­ниилу едва исполнилось пять лет. Талантливый, как все Бернулли, он был современником Исаака Ньютона и, обладая свойственным всем Бернулли сложным и самолюбивым характером, считал себя соперником великого английского ученого.

Сама по себе постановка Якобом обсуждаемого вопроса, даже если отвлечься от предложенных им ответов, была научным подви­гом. По его признанию, он размышлял над этой проблемой двад­цать лет и окончил посвященный ей труд незадолго до смерти, последовавшей в 1705 году.

Якоб был самым мрачным из Бернулли, особенно к концу жиз­ни, несмотря на то что он жил в веселые и легкомысленные време­на, наступившие в Англии после реставрации монархии в 1660 го­ду и восшествия на престол Карла II1) (Ему была свойственна своеобразная поэтичность, сказавшаяся, к примеру, в поже­лании, чтобы на его могильном камне высекли прекрасную спираль Фибоначчи, по­скольку ее свойство расширяться, не изменяя формы, является «символом стойкос­ти и неизменности посреди хаоса и напастей, а в конечном итоге — даже нашего воскрешения во плоти». Под спиралью он потребовал выбить эпитафию: «Eadem Ми-tata resurgo» («Неизменная в вечном движении»), см.: [David, 1962, р. 139].), когда, например, один из его весьма известных современников Джон Арбутнот, лекарь коро­левы Анны, член Королевского общества и математик-дилетант, занимавшийся проблемами вероятности, считал уместным для иллюстрации содержащихся в своих опусах положений сдабривать их фривольными примерами, обсуждая вероятность того, что «жен­щина в двадцатилетнем возрасте сохранила девственность» или что «лондонский щеголь того же возраста не болен триппером»2.

В 1703 году Якоб Бернулли впервые поставил вопрос о зависи­мости получаемого значения вероятности от выборки. В письме к своему другу Лейбницу он заметил, что ему кажется странным, что нам известна вероятность выпадения семи, а не восьми очков при игре в кости, но мы не знаем, с какой вероятностью двадцатилет­ний переживет шестидесятилетнего. Не следует ли нам, спрашива­ет он, для ответа на этот вопрос подвергнуть исследованию множе­ство пар людей всех возрастов?

Отвечая Бернулли, Лейбниц пессимистически оценил этот под­ход. «Природа установила шаблоны, имеющие причиной повторя­емость событий, — пишет он, — но только в большинстве случа­ев. Новые болезни захлестнули человечество, так что не имеет зна­чения, сколько опытов вы провели над трупами, — на их основе вам не установить таких границ природы событий, чтобы в буду­щем не осталось места вариациям»3. Хотя письмо Лейбница напи­сано на латыни, выражение «но только в большинстве случаев» он написал по-гречески: со? ети то тсоХи. Очевидно, этим он хотел под­черкнуть, что конечное число опытов, предлагаемое Якобом, с не­избежностью окажется недостаточным для точного исчисления за­мыслов природы 2).

Реакция Лейбница не обескуражила Якоба, но внесла корректи­вы в его подход к решению проблемы. Лейбницево предупрежде­ние по-гречески не прошло даром.

Усилия Якоба определить вероятность на основе обследования выборки данных нашли отражение в его «Ars Conjectandi», работе, которую его племянник Николай полностью опубликовал через во­семь лет после смерти автора в 1713 году4.(В одном из последующих писем Якобу Лейбниц заметил: «Можете не сомневаться, что любой, кто попытается на основе данных о продолжительности жизни в совре­менных Лондоне и Париже делать выводы о смертности праотцев, живших до Пото­па, придет к чудовищно искаженным выводам» [Hacking, 1975, р. 164]). Интерес Якоба сосредо­точен на том, чтобы показать, где метод логического вывода — объективный анализ данных — кончается и начинается другой ме­тод — прогнозирование на основе вероятностных законов. В извест­ном смысле здесь прогнозирование рассматривается как процесс восстановления целого по части.

Якоб начинает свой анализ с констатации того, что в теории ве­роятностей для принятия гипотезы о возможности события «необходимо только подсчитать точное число возможных событий и за­тем определить, насколько наступление одного события более веро­ятно, нежели наступление другого». Трудность, на которую он по­стоянно указывает, заключается в том, что использование вероят­ности ограничено почти исключительно случайными играми. С этой точки зрения достижения Паскаля представляются не более как интеллектуальной забавой.

Для Якоба это ограничение имеет принципиальное значение, о чем свидетельствует его рассуждение, созвучное Лейбницеву пре­дупреждению:

Но кто из смертных... может установить число болезней, подсчитав все, причиняющие страдания человеческому телу... и насколько фатальный исход от одной болезни более вероятен, чем от другой — от чумы или от водянки... от водянки или от лихорадки, — и на этой основе сделать предсказания о соотношении жизни и смерти для будущих поколений? ...Кто может претендовать на столь глубокое проникновение в при­роду человеческого духа и изумительную структуру тела, чтобы в иг­рах, результат которых зависит от... остроты ума или физической лов­кости игроков, рискнуть предсказать, кто из игроков выиграет и кто проиграет?

Якоб указывает на принципиальное отличие между реальнос­тью и абстракцией при использовании вероятностных законов. На­пример, предложенное Пацциоли рассмотрение незавершенной иг­ры в balla, как и пример с гипотетическим неоконченным турни­ром на первенство по бейсболу, о котором у нас шла речь при об­суждении треугольника Паскаля, не имеет ничего общего с реаль­ными жизненными ситуациями. В реальной жизни игроки в balla, как и участники бейсбольного турнира, обладают различной «ост­ротой ума и физической ловкостью» — качествами, которые я игно­рировал в приведенных ранее упрощенных примерах использования законов вероятности для предсказания событий. Треугольник Пас­каля дает только намек на исход игры в реальных условиях.

Теория может определить вероятность тех или иных исходов для игры в казино или лотереи — здесь нет необходимости вра­щать колесо рулетки или считать лотерейные билеты, чтобы опре­делить характер результата, но в реальной жизни важна относя­щаяся к делу информация. Беда в том, что мы никогда не облада­ем ей в нужном объеме. Природа устанавливает шаблоны, но «толь­ко в большинстве случаев». В теории, которая абстрагируется от природы, дело обстоит проще: мы или имеем необходимую информацию, или не нуждаемся в ней. Как сказал цитированный в вве­дении Фишер Блэк, мир выглядит более упорядоченным с терри­тории Массачусетского технологического института, чем в перспек­тиве хаотического бурления Уолл-стрит.

В нашем обсуждении гипотетической игры в balla и вообража­емого бейсбольного турнира статистика игр, физические способно­сти и интеллектуальное развитие игроков не имели отношения к делу. Игнорировалась даже сама природа игры. Теоретический подход полностью подменял конкретную информацию.

В реальности фанатики бейсбола, как и брокеры фондовой бир­жи, собирают массу статистических данных, потому что эта ин­формация необходима им для оценки класса игроков и команд или для оценки будущей прибыльности акций. И даже заключения экс­пертов с вероятностными оценками конечных результатов, полу­ченные на основе обработки тысяч фактов, и в спорте и в финансах оставляют место сомнениям и неопределенности.

Треугольник Паскаля и все предшествующие работы по теории вероятностей отвечали только на один вопрос: какова вероятность того или иного отдельного события. Ответ на этот вопрос в боль­шинстве случаев имеет ограниченную ценность, поскольку чаще всего он мало что дает для оценки ситуации. Что на деле даст нам знание того, что игрок А имеет 60% шансов победить в отдельной партии в balla? Можно ли на этом основании утверждать, что он способен победить игрока В в 60% партий? Ведь победы в одном турнире недостаточно для этого утверждения. Сколько раз должны сыграть А и В, чтобы мы могли убедиться, что А играет лучше, чем В? Что говорит нам результат бейсбольного турнира этого года о вероятности того, что победившая команда является самой силь­ной вообще, а не только в этом году? Что говорит высокий процент смертности от рака легких среди курильщиков о вероятности того, что курение раньше срока сведет в могилу именно вас? Свидетель­ствует ли смерть слона о целесообразности спускаться в бомбоубе­жище при налетах?

Реальные жизненные ситуации часто требуют от нас определе­ния вероятности вполне определенного исхода на пути заключения от частного к общему. В жизни очень редко встречаются задачи, сводящиеся к чистой игре случая, для которых можно определить вероятность исхода до изучения ряда событий — a priori, как ска­зал бы Якоб Бернулли. В большинстве случаев мы вынуждены оп­ределять вероятности на основе имеющихся данных после ряда происшедших событий — a posteriori. Само понятие a posteriori предполагает эксперимент и измерение степени уверенности. В Москве семь миллионов жителей, но после гибели слона от фашист­ской бомбы профессор решил, что пришло время спускаться в бом­боубежище.

 

Вклад Якоба Бернулли в решение проблемы определения веро­ятности на основе информации об ограниченном наборе реальных событий был двояким. С одной стороны, он сформулировал задачу в этом виде в то время, когда никто еще даже не усматривал необ­ходимости ее постановки. С другой — он предложил решение, за­висящее только от одного необходимого условия: мы должны пред­положить, что «при равных условиях наступление (или не наступ­ление) события в будущем будет следовать тем же закономерно­стям, какие наблюдались в прошлом»5.

Это допущение чрезвычайно важно. Якоб мог сетовать на то, что в реальной жизни информация очень редко оказывается достаточно полной, чтобы применять простые вероятностные законы для пред­сказания результатов. Но он признаёт, что оценка вероятностей пост­фактум также невозможна, пока мы не примем предположения, что прошлое является прообразом будущего. Трудность этого предполо­жения не требует пояснений.

Какие бы данные мы ни отбирали для анализа, прошлое остает­ся лишь фрагментом реальности. Эта фрагментарность играет ре­шающую роль при переходе от ограниченного набора данных к обобщению. Мы никогда не имеем (или не можем позволить себе собрать) всей информации, в которой нуждаемся, чтобы обладать той же уверенностью, с какой без тени сомнения утверждаем, что у игральной кости шесть граней с нанесенными на каждую разными цифрами или что у колеса европейской рулетки 37 лунок (у аме­риканской 38) с разными числами против каждой. Реальность пред­ставляет собой серию взаимосвязанных событий, зависимых друг от друга, и принципиально отличается от случайных игр, в которых результат каждой отдельной игры не влияет на результат после­дующей. В случайных играх все сводится к определенным числам, а в реальной жизни мы чаще используем приблизительные оценки — «мало», «много» или «не очень много», а не точные количествен­ные величины.

Якоб Бернулли невольно определил содержание оставшейся ча­сти моей книги. С этого момента разговор об управлении риском будет сводиться к использованию трех его основополагающих предположений — полнота информации, независимость испытаний и на­дежность количественных оценок. В каждом отдельном случае во­прос о правомерности этих предположений является главным для решения вопроса о том, насколько успешно мы можем использо­вать измерения и информацию для прогнозирования будущего. По существу, эти предположения определяют наш взгляд на прошлое: можем ли мы объяснить происшедшее, или при описании события следует прибегнуть к понятию чистой случайности (что, иначе го­воря, означало бы, что мы не имеем объяснения)?

Несмотря на все трудности, нам приходится иногда осознан­но, чаще неосознанно предполагать, что перечисленные Якобом не­обходимые условия выполняются, даже если нам достаточно хоро­шо известны отличия реальности от идеального случая. Наши от­веты могут быть неточными, но описанная в этой главе методоло­гия, разработанная Якобом Бернулли и другими математиками, просто принуждает нас заняться определением вероятности буду­щих событий на основе ограниченных наборов данных о прошлых событиях.

Теорема Якоба Бернулли о вычислении вероятности a postetiori известна как закон больших чисел. Вопреки распространенной точке зрения этот закон не дает метода оценки наблюдаемых фак­тов, которые являются лишь несовершенным отображением явле­ния в целом. Не следует из него и утверждение, будто увеличение числа наблюдений влечет за собой возрастание вероятности совпа­дения того, что мы видим, с тем, что мы исследуем. Закон не яв­ляется и средством улучшения качества тестов: Якоб не забыл за­мечание Лейбница и отверг свои первоначальные идеи о поиске четких ответов на основе эмпирических тестов.

Якоба интересовало другое определение вероятности. Предполо­жим, вы подбрасываете монету. Закон больших чисел не утвержда­ет, что среднее число выпадений орла будет приближаться к 50% при увеличении числа бросков; простые вычисления дадут вам этот ответ и избавят от утомительного подбрасывания монеты. Закон, скорее, утверждает, что при увеличении числа бросков будет возра­стать вероятность того, что процент появлений орла в общем числе бросков будет отличаться от 50% на величину, меньшую сколь угод­но малой заданной величины. В слове «отличаться» все дело. Речь идет не об истинности значения 50%, а о вероятности того, что отклонение наблюдаемого среднего значения вероятности от расчетно­го будет меньше, чем, скажем, 2%, — другими словами, что с уве­личением числа бросков эта вероятность будет возрастать.

Это не означает, что при бесконечном числе бросков отклонений не будет; Якоб явным образом исключает этот случай. Не означает это и того, что отклонение будет с необходимостью становиться пренебрежимо малым. Закон лишь утверждает, что среднее зна­чение при большом числе бросков будет с большей, чем при малом числе бросков, вероятностью отличаться от истинного среднего на величину, меньшую наперед заданной. Но всегда останется воз­можность того, что наблюдаемый результат будет отличаться от истинного среднего на величину, большую некоей заданной. Семи миллионов жителей Москвы оказалось недостаточно для профессо­ра статистики.

Закон больших чисел не надо путать с законом о среднем. Ма­тематики говорят нам, что вероятность выпадения орла при одном бросании монеты составляет 50%, — но результат каждого броска не зависит от всех остальных. Он не зависит от результата предше­ствующих бросков и не влияет на результаты последующих. Сле­довательно, закон больших чисел не утверждает, что вероятность выпадения орла для отдельного броска станет выше 50%, если в первых ста или миллионе бросков только в 40% случаев выпал орел. Закон больших чисел отнюдь не обещает, что вы отыграетесь после серии проигрышей.

Для иллюстрации закона больших чисел Якоб предложил мыс­ленный эксперимент с кувшином, наполненным 3000 белых камеш­ков и 2000 черных, ставший с тех пор очень популярным среди спе­циалистов по теории вероятностей и авторов математических голово­ломок. Он оговаривает, что нам должно быть неизвестно, сколько ка­мешков каждого цвета в кувшине. Мы по одному вынимаем камешки из кувшина, фиксируем цвет каждого из них и возвращаем обратно в кувшин. Из факта, что по мере возрастания числа обследованных та­ким образом камешков мы получаем «практическую достоверность» (moral certainty) — имеется в виду достоверность в обыденном смысле слова, а не абсолютная достоверность — того, что число белых и число черных камешков будут соотноситься как 3:2, Якоб заклю­чает, что «мы можем определить это соотношение a posteriori с по­чти той же точностью, как если бы оно было известно нам a priori»6. Его расчеты показывают, что 25 550-кратного вытаскивания камеш­ков из кувшина будет достаточно, чтобы с вероятностью, превыша­ющей 1000/iooi' утверждать, что результат будет 3/2 с точностью 2%. Это и есть ваша практическая достоверность.

Якоб не использует выражение «практическая достоверность» необдуманно. Оно покоится на его определении вероятности, поза­имствованном из одной ранней работы Лейбница. «Вероятность, — утверждает он, — это степень достоверности и отличается от абсо­лютной достоверности как часть отличается от целого»7.

Но Якоб идет дальше Лейбница в обсуждении того, что означа­ет понятие «достоверность». Наше индивидуальное суждение о до­стоверности — вот что привлекает внимание Якоба: условие прак­тической достоверности имеет место, если мы почти абсолютно убеждены в верности суждения. Когда Лейбниц вводил это поня­тие, он определил его как «бесконечную вероятность». Сам Якоб удовлетворяется вероятностью 1000/юо1> но он хочет подстраховать­ся: «Было бы полезным, если бы должностные лица установили пределы практической достоверности»8.

Якоб торжествует. Отныне, утверждает он, мы можем делать предсказания о любых неопределенных величинах с той же степе­нью научной обоснованности, как и предсказания в случайных иг­рах. Он перевел вероятность из сферы теории в мир реальности:

Если вместо кувшина мы обратимся, например, к атмосфере или чело­веческому телу, в котором таится множество самых разных процессов или болезней, как камешков в кувшине, то на основе наблюдений мы сможем определить, насколько наступление одного события более ве­роятно, чем наступление другого9.

Однако, как оказалось, с кувшином у Якоба не обошлось без хлопот. Расчет, показавший необходимость 25550 испытаний для получения практической достоверности, должен был ужаснуть его неприемлемой величиной этого числа; в те времена население его род­ного города Базеля было меньше 25550 человек. Судя по тому, что именно на этом месте его книга обрывается, можно предположить, что он растерялся и не знал, как быть дальше. Приходилось делать вывод, что трудно найти в реальной жизни случаи, в которых все наблюдения удовлетворяли бы требованию независимости друг от друга:

Таким образом, если все события вечно повторяются, приходится при­знать, что всё в мире происходит по определенным причинам в соот­ветствии с определенными правилами, и мы вынуждены предположить относительно наиболее явно случайных вещей наличие некоей необхо­димости, или, иначе говоря, РОКА10.

Тем не менее его кувшин с камешками заслужил бессмертие. Эти камешки стали инструментом в первой попытке измерить неопреде­ленность — точнее, определить ее — и вычислить вероятность того, что эмпирически определенное значение случайной величины близ­ко к истинному, даже если истинное значение неизвестно.

Якоб Бернулли умер в 1705 году. Его племянник Николай — Ни­колай Медлительный — продолжил исследования дяди, связанные с определением вероятностей на основе наблюдений, одновременно медленно, но верно завершая подготовку к изданию «Ars Conjec-tandi». Его результаты были опубликованы в том же 1713 году, в ко­тором наконец вышла в свет книга Якоба.

Якоб для начала задает вероятность того, что отклонение на­блюдаемого значения от истинного окажется в некоем определен­ном интервале, а затем вычисляет число наблюдений, необходимое для получения именно этого заданного значения. Николай поставил перед собой обратную задачу. Считая число наблюдений заданным, он вычислял вероятность того, что отклонение наблюдаемого сред­него от истинного окажется в заданных пределах. Он использовал пример, в котором предполагал, что отношение числа рождающих­ся мальчиков к числу рождающихся девочек равно 18:17. Если общее число рождений составляет, скажем, 14000, ожидаемое число рождений мальчиков должно быть 7200. Затем он рассчитал, что с шансами по меньшей мере 43,58 к 1 действительное число родив­шихся мальчиков окажется в интервале 7200 + 163 и 7200 - 163, то есть между 7363 и 7037.

В 1718 году Николай предложил французскому математику Аб­рахаму де Муавру присоединиться к его исследованиям, но де Муавр отверг это предложение: «Я хотел бы оказаться способным... приме­нить теорию случайностей (Doctrine of Chances) к решению эконо­мических и политических задач, [но] с готовностью передаю мою часть работы в лучшие руки»11. Из этого ответа де Муавра Николаю сле

vikidalka.ru - 2015-2017 год. Все права принадлежат их авторам!