ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Следовательно, заряды движутся настолько медленно, что за время собственного запаздывания конфигурация зарядов не успевает заметно изменится. 4 страница. (12.1) Введем функционал действия , (12.2) где интегрирование в выражении (12.2) проводится по некоторой кривой, соединяющей две точки (события) в четырехмерном пространстве Минковского. Согласно принципу стационарного действия, вариация действия
. Отсюда следуют уравнения движения - уравнения Лагранжа: , (12.3) где , . Найдем обобщенный импульс системы , (12.4) и обобщенную силу . (12.5) Из (12.3) с учетом (12.4) и (12.5) следует = . Отсюда получим известное уравнение движения для нерелятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле: . (12.6) Получим функцию Лагранжа для релятивистской частицы с зарядом , движущейся в электромагнитном поле. При этом будем руководствоваться следующими вполне очевидными положениями: · - должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца. · - должен зависеть только от времени, координат и скорости заряженной частицы. · - должен иметь по возможности более простой вид и в предельном случае малых скоростей сводиться к нерелятивистской функции Лагранжа (12.1). Для свободной частицы (в отсутствие поля) релятивистский функционал действия можно записать в виде , (12.7) где - четырехмерный интервал, - некоторая постоянная. В нерелятивистском приближении функция Лагранжа . (12.8) Если положить , то функция сводится к нерелятивистской функции Лагранжа . Постоянная () не влияет на уравнения движения частицы. Таким образом, для свободной частицы получим действие . (12.9) Действие для частицы, движущейся в электромагнитном поле, представим в виде , (12.10) где - действие, описывающее взаимодействие частицы с полем. Наиболее простой вид действия . (12.11) Функция Лагранжа . (12.12) В нерелятивистском случае функция Лагранжа примет вид , (12.13) который совпадает с (12.1). Постоянным слагаемым () можно пренебречь, т.к. оно не сказывается на уравнениях движения. Для вывода уравнений релятивистской механики воспользуемся принципом стационарного действия, из которого следуют уравнения Лагранжа в виде (12.3). Функцию Лагранжа (12.12) можно записать в виде: . (12.14) Проведем вычисления. Обобщенный импульс: , = , где - релятивистский импульс частицы. Обобщенная сила = =. . Тогда или . (12.15) Это известное уравнение движения Пуанкаре для релятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле. Легко получить второе уравнение Пуанкаре для энергии, если ввести полную энергию частицы . Можно показать, что выполняются следующие выражения для энергии и импульса: , . Найдем = = = . Окончательно получим . (12.16) Уравнения движения в гамильтоновой форме имеют вид:
(12.17) Функция Гамильтона (энергия, выраженная через канонические координаты и импульсы) , (12.18) где функция Лагранжа , (12.19) . (12.20) После подстановки значений (12.19) и (12.20) в выражение (12.18) получим . (12.21) Функция Гамильтона как функция энергии, выраженная через координаты и импульсы, имеет следующий вид: . (12.22) Вместо релятивистского импульса частицы в выражение для функции Гамильтона должен входить обобщенный импульс. Так как , то окончательный вид функции Гамильтона . (12.23) Воспользовавшись каноническими уравнениями Гамильтона (12.17) с функцией Гамильтона (12.23), можно получить уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле (12.15) и (12.16).
25. Функция Лагранжа при заданных зарядах и токах. Получение уравнений Максвелла из принципа стационарного действия. Запишем действие, описывающее электромагнитное поле, частицы и взаимодействие электромагнитного поля с частицами . (13.1) Первые два слагаемых мы уже рассматривали для случая одной частицы. Для системы невзаимодействующих частиц . (13.2) Действие, отвечающее за взаимодействие частиц с полем: . (13.3) Перейдем к сплошной среде , (13.4) где - плотность массы. Выражение (13.4) перепишем в виде . (13.5) Здесь - лагранжиан свободных частиц, являющейся объемной плотностью функции Лагранжа . Функция Лагранжа определяется выражением , (13.6) и, следовательно, . (13.7) Таким образом, лагранжиан: . (13.8) Функционал действия = = = = . Лагранжиан, описывающий взаимодействие частиц с полем . (13.9)
Действие для электромагнитного поля . (13.10) Лагранжиан электромагнитного поля должен быть скаляром, т.е. комбинацией тензоров . Так как уравнения электромагнитного поля не могут быть выше второго порядка, то тензоры не должны входить в эту комбинацию. Единственный скаляр, отвечающий этим требованиям . (13.11) Действие выберем в виде . (13.12) Лагранжиан электромагнитного поля можно записать в виде . (13.13) Для того чтобы получаемые из (13.12) и (13.13) уравнения для электромагнитного поля совпадали с уравнениями Максвелла в гауссовой системе единиц, необходимо положить . Следовательно, можно записать лагранжиан электромагнитного поля в виде . (13.14) Считаем, что задан закон движения зарядов, т.е. заданы и . Поэтому вариация . Будем варьировать действие (13.15) по компонентам четырехмерного потенциала . Тензор электромагнитного поля . Вариация действия . (13.16) Найдем = = = . Следовательно, получим для вариации действия = . Очевидно, что , (13.17) где - четырехмерный объем, - гиперповерхность в четырехмерном пространстве Минковского. На пределах интегрирования по пространственным координатам () поле исчезает, т.е. . Кроме того, на пределах интегрирования по времени вариации . Отсюда следует результат (13.17). Окончательно для вариации действия получим = = 0. Из-за произвольности вариации из последнего соотношения следует равенство или известные уравнения Максвелла в ковариантной форме . (13.18) Уравнения (13.19) выполняются автоматически согласно определениям тензора электромагнитного поля и абсолютно антисимметричного тензора Леви – Чевиты. 26. Тензор энергии - импульса электромагнитного поля. Плотность энергии и плотность импульса. Рассмотрим систему заряженных частиц, находящихся в объеме . Для заряженной одиночной частицы уравнения движения в электромагнитном поле имеет вид: . (14.1) В случае непрерывного распределения заряда в объеме плотности распределения заряда и массы связаны соотношением: . (14.2) Следовательно, уравнение движения единицы объема или , 14.3) где - суммарный импульс единицы объема. Воспользуемся уравнениями Максвелла (13.18) и найдем плотность тока . 14.4) Тогда . (14.5) Представим уравнение движения в виде: = = = =. . Из системы уравнений Максвелла (7.13) получим или . Тогда . (14.6) С учетом соотношения , из (14.6) получим или
. (14.7) Введем контрвариантный тензор второго ранга , (14.8) который называют тензором энергии – импульса. Его можно также переписать в виде . (14.9) Тогда уравнения движения (14.7) принимают вид . (14.10) Отметим, что тензор энергии – импульса симметричный тензор, т.е. . Легко заметить, что . Чтобы выяснить физический смысл компонент тензора энергии – импульса подсчитаем его компоненты: · - плотность энергии электромагнитного поля. · , , . Так как вектор Пойнтинга , то получим для компонент тензора , , . · , где тензор натяжений Максвелла . Тогда тензор энергии – импульса Запишем уравнение движения (14.10) в виде: . (14.11) Рассмотрим инерциальную систему отсчета, в которой центр масс заряженных частиц покоится. Тогда . Проинтегрируем (14.11) по всему объему = . (14.12) Введем вектор - четырехмерный импульс электромагнитного поля в объеме . Интеграл обращается в нуль для неограниченного объема. Таким образом, из (14.12) следует . (14.13) Выражение (14.13) представляет собой закон сохранения четырехмерного импульса системы заряженных частиц и электромагнитного поля. Электромагнитному полю необходимо приписать не только энергию , но и импульс . Компонента четырехмерного импульса при . (14.14) Плотность этой компоненты . (14.15) Положив , получим или . (14.16) Плотность импульса . (14.17) Рассмотрим конечный объем , в котором отсутствуют заряженные частицы (). Тогда или . (14.18) Последнее выражение представляет поток четырехмерного импульса поля из объема через поверхность . Положим . Тогда . (14.19) Для из (14.18) получим . (14.20) Рассмотрим выражение . (14.21) Отсюда следует, что тензор натяжений Максвелла представляет собой количество импульса, выходящего в направлении координатной линии через единичную площадку с нормалью . Максвелл, исходя из механических представлений об эфире, считал - силой натяжения эфира из-за наличия в эфире электромагнитного поля. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|