ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
ЧАСТЬ II. Специальная теория относительности 2 страница2.5. Элементы тензорной алгебры. Ковариантная запись дифференциального закона сохранения заряда. Законы преобразования плотностей заряда и тока. Специальная теория относительности установила инвариантность интервала при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. инвариантность интервала при преобразованиях Лоренца. Впервые Пуанкаре, а затем Минковский показали, что обычное трехмерное пространство и время представляют собой единое четырехмерное пространство – время. О точках такого пространства говорят как о физических событиях. Радиус – вектор любой точки (события) пространства- времени имеет четыре компоненты и его можно записать в виде , (5.1) где - трехмерный радиус – вектор. Таким образом, в четырехмерном пространстве введем четыре взаимно ортогональные координатные оси . Рассмотрим закон преобразования координат при переходе из одной системы отсчета в другую. При этом не ограничиваемся только инерциальными системами отсчета. Закон преобразования координат запишем в виде: . (5.2) Это преобразование должно быть не вырожденным, чтобы имело место обратное преобразование . (5.3) Следовательно, якобиан преобразования . Рассмотрим малое перемещение в четырехмерном пространстве: . (5.4) Здесь применено известное правило суммирования Эйнштейна, согласно которому по повторяющимся (немым) индексам производится суммирование. Малое перемещение в четырехмерном пространстве обобщает перемещение в трехмерном пространстве, - контрвариантный вектор в четырехмерном пространстве. Обобщая правило преобразования четырехмерного вектора перемещения (5.4), введем произвольный четырехмерный контрвариантный вектор , который преобразуется при заданном законе преобразования координат (5.2) по следующему правилу , (5.5) где . Пусть - произвольная скалярная функция. Тогда . Введем - ковариантный вектор. Получим правило преобразования ковариантных векторов при переходе из одной системы координат в другую: . (5.6) Можно обобщить понятие скаляра на четырехмерное пространство: . В частности, четырехмерный интервал , (5.7) есть пример четырехмерной скалярной функции. Здесь - ковариантный метрический тензор в произвольных координатах. Такая запись интервала обобщает вид интервала в декартовых координатах инерциальной системы отсчета , (5.8) для которых метрический тензор имеет диагональный вид. Согласно (5.7) в произвольных координатах имеем . Найдем закон преобразования метрического тензора при переходе из одной системы координат в другую: . Следовательно, получим . (5.9) Рассматриваемый метрический тензор – ковариантный тензор второго ранга. Для матрицы построим обратную матрицу , которая удовлетворяет условию . Матрица определяет контрвариантный метрический тензор второго ранга. Найдем закон преобразования для этого тензора: , где . Тогда . (5.10) Можно ввести контрвариантный тензор произвольного ранга , который удовлетворяет следующему закону преобразования при переходе из одной системы координат в другую: . (5.11) Аналогично введем ковариантный тензор ранга . (5.12) С помощью метрического тензора можно опускать и поднимать индексы у тензоров. Например: . В инерциальной системе отсчета метрический тензор . Действительно, так как и , то при , при и . Введем ковариантный вектор перемещения . Если определить скалярное произведение векторов следующим образом: , то . Запись физических выражений в четырехмерном тензорном виде называют ковариантной записью физических уравнений. При такой форме записи вид выражений не меняется при преобразованиях Лоренца. Следовательно, законы физики должны быть записаны в ковариантном виде. Вначале рассмотрим закон сохранения заряда и перепишем его в ковариантной форме. Введем . Тогда , . Введем . Если ввести четырехмерный вектор тока , то закон сохранения заряда может быть записан в ковариантной форме . (5.13) Найдем закон преобразования четырехмерного вектора тока . (5.14) Воспользуемся преобразованиями Лоренца или где , . Отсюда следует, что . (5.15) Положив в (5.14) , получим или . (5.16) Взяв , получим: . (5.17) При : . Таким образом, преобразования четырехвектора тока : (5.18)
Обратное преобразование (5.19) Пусть заряды покоятся в инерциальной системе отсчета К', т.е. , , . Тогда . Воспользуемся законом преобразования объема и найдем, как преобразуется заряд в объеме . Получим = = . Это означает, что заряд любого элемента объема есть инвариант при преобразованиях Лоренца, т.е. при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. 2.6. Ковариантная запись условия Лоренца и уравнений для потенциала. Закон преобразования потенциалов. Перепишем условие Лоренца в виде . Введем четырехмерный контравариантный вектор потенциала , где , , , . Ковариантный вектор потенциала . При этом условие Лоренца в ковариантном виде . (6.1) Закон преобразования потенциалов (6.2) запишем в виде (6.3) Уравнение для потенциалов , , (6.4) где оператор Даламбера
или = = . (6.5) Тогда уравнения для потенциалов (6.4) перепишем в виде (6.6) или . (6.7) 2.7. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная запись уравнений Максвелла для полей в вакууме. Уравнения Максвелла также могут быть записаны в ковариантном виде. Для этого введем тензор электромагнитного поля. Напряженности электромагнитного поля (7.1) перепишем в координатном виде (7.2) Введем координаты четырехмерного пространства и четырехмерный ковариантный вектор потенциала . Тогда соотношения (7.2) примут вид (7.3) Рассмотрим тензор , (7.4) который называют тензором электромагнитного поля. Он является ковариантным, антисимметричным тензором второго ранга, т.е. для него выполняются следующие соотношения: . Запишем тензор (7.4) в виде: . (7.5) Контрвариантный тензор электромагнитного поля . (7.6) Запишем уравнения Максвелла в ковариантном виде, воспользовавшись введенным тензором электромагнитного поля. Рассмотрим уравнения Максвелла (7.7) Уравнение перепишем в виде: , (7.8) где , . Уравнение преобразуем к виду: , (7.9) где , . Например, положив в (7.9) , получим , или . Следовательно, . Таким образом, уравнения (7.8) и (7.9) можно записать в виде . (7.10) Преобразуем оставшуюся пару уравнений (7.7). Вначале рассмотрим . Получим или . (7.11) Аналогичным образом преобразуем уравнение . В проекции на ось имеем или . Окончательно получим . (7.12) Таким образом, оставшуюся пару уравнений можно записать в виде , (7.13) где . Введем полностью антисимметричный тензор четвертого ранга . Определим этот тензор следующим образом. Положим , . Тензор называют абсолютно антисимметричным тензором Леви – Чевиты. Четное число перестановок индексов дает элементы этого тензора равные +1, а нечетное число перестановок индексов дает элементы тензора равные -1. Всего ненулевых компонент тензора будет 4!=4·3·2·1=24. Тогда уравнение (7.13) может быть переписано в виде . (7.14) Тензор - тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем индексам , при условии . Таким образом, в ковариантной форме уравнения Максвелла: (7.15) 2.8. Законы преобразования напряженностей поля. Инварианты электромагнитного поля. Запишем закон преобразования тензора электромагнитного поля: . (8.1) Здесь , . Положим в (8.1) и получим = = = . Аналогично можно получить законы преобразования других компонент напряженностей электромагнитного поля. Окончательно имеем (8.2) Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля можно записать в векторном виде. Рассмотрим параллельные и перпендикулярные к скорости компоненты векторов напряженностей электромагнитного поля, т.е. , и , . Тогда законы преобразования напряженностей (8.2) можно переписать в виде (8.3) В нерелятивистском случае эти формулы значительно упрощаются. С точностью до членов порядка получим (8.4) Из компонент тензора электромагнитного поля можно образовать следующие инварианты: a) . b) Выражая компоненты тензора электромагнитного поля через компоненты и , можно показать, что эти инварианты имеют вид: (8.5) Можно было бы образовать еще один инвариант . Но он тождественно обращается в нуль, т.е. . Отметим, что первый инвариант истинный скаляр, т.е. он не изменяется как для поворотов в четырехмерном пространстве (преобразования Лоренца), так и относительно пространственных и временных отражений (преобразование инверсии). Второй инвариант псевдоскаляр. Он инвариант только для поворотов (преобразования Лоренца), но не инвариант для отражений. Из (8.5) следует: 1) Если в какой–нибудь инерциальной системе отсчета , т.е. , то и в другой инерциальной системе отсчета и значит . Можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой либо , если , либо , если . 2) Если в какой – нибудь инерциальной системе отсчета, то они будут нулевыми во всех системах отсчета. Действительно, и во всех инерциальных системах отсчета. Решение системы этих уравнений будет тривиальным: . 3) Если в какой–нибудь инерциальной системе отсчета, то во всех системах отсчета. 4) Если не перпендикулярно в какой – нибудь инерциальной системе отсчета, то можно найти такую систему отсчета, в которой .
2.9. Инвариантность фазы. Законы преобразования частоты и волнового вектора электромагнитной волны. Астрономическая аберрация и эффект Доплера. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну в инерциальной системе отсчета К: , . (9.1) В движущейся инерциальной системе отсчета К': , . (9.2) В системе отсчета К имеет место: и . Следовательно, (9.3) Такие же соотношения будут иметь место в движущейся инерциальной системе отсчета К': (9.4) Так как , то после подстановки значений из (9.1) и (9.2) получим: , или . Таким образом, фаза волны - инвариант. Амплитуды волны, согласно выражениям (8.3), преобразуются по следующим правилам: (9.5) Введем четырехмерный контрвариантный волновой вектор и ковариантный волновой вектор . Найдем = inv, где , . Следовательно, и действительно являются четырехмерными векторами. Законы преобразования четырехмерного волнового вектора можно записать в матричном виде . (9.6) Отсюда получим (9.7) В уравнениях (9.7) заключено объяснение эффекта Доплера и явления звездной аберрации. Из волнового уравнения следует . Модуль волнового вектора . Введем . Источник света покоится в системе отсчета К', т.е. движется со скоростью относительно системы К. Считаем, что свет распространяется в плоскости . Тогда из первого уравнения (9.7) получим Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|