Элементарная классическая теория металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны, довольно слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металле основывается на электронной теории проводимости металлов, созданной немецким физиком П.Друде (1863-1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком Х.Лоренцом. В классической теории металлов пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие электронов с положительными ионами сводят только к соударениям. Иными словами, электроны проводимости рассматривают как электронный газ, подобный идеальному атомарному газу молекулярной физики.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла в результате сближения изолированных атомов валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ. Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается тепловое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде-Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа. Поэтому, применяя выводы молекулярно-кинетической теории, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов < u >, которая при Т=300 К равна @10⁵ м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник кроме теплового движения электронов, возникает их упорядоченное движение, т.е. возникает электрический ток. Среднюю скорость < v > упорядоченного движения электронов можно оценить по формуле (1.3) для плотности тока: j = nе < v >. Выбрав допустимую плотность тока, например, для медных проводов 10⁷ А/м², получим, что при концентрации носителей тока 8.10²⁸ м^-3 средняя скорость < v > упорядоченного движения электронов равна @ 8.10^-4 м/с. Следовательно, < v > << < u > т.е. даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обусловливающая электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Казалось бы, полученный результат противоречит известному факту, что скорость распространения электрического тока по цепи равна скорости света в вакууме (с = 3.10⁸ м/с). Это противоречие лишь кажущееся, так как скорость с является скоростью распространения электромагнитного поля вдоль проводов.

Вывод основных законов электрического тока из классической теории металлов.

1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E = const. Со стороны поля заряд e испытывает действие силы F = eE и приобретает ускорение a = F/m = eE/m. Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая у к концу свободного пробега скорость

v_max = eE <t> / m,

где <t> - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Согласно классической теории электропроводности, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

<v> = (v_max + 0)/2 = eE <t> / 2m. (8.1)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время <t> свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега <l> и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной <u> + <v> (<u> - средняя скорость теплового движения электронов). Выше было показано, что <v> << <u>, поэтому <t> = <l> /<u>. Подставляя значение <t> в формулу (8.1), получим

<v> = eE <l> / 2m <u>.

Плотность тока в металлическом проводнике, согласно (1.3), равна

j = n e <v> = (n e² < l > / 2m <u>) E,

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т.е. получили закон Ома в дифференциальной форме. Коэффициент пропорциональности между j и E есть не что иное как удельная проводимость материала

g = n e² <l> / 2m <u>, (8.2)

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля – Ленца. К концу своего пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

<E_кин> = m v²_max / 2 = e² <l>² E² / 2m <u>². (8.3)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на нагревание металла. За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем <z> соударений:

<z> = <u> / <l>. (8.4)

Если n - концентрация электронов, то в единицу времени происходит n<z> столкновений и решетке передается энергия

w = n <z> <E_кин>, (8.5)

которая идет на нагрев проводника. Подставляя (8.3) и (8.4) в (8.5), получим

w = n e² <l> E² / 2 m <u>, (8.6)

где w – количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, т.е. удельная тепловая мощность. Коэффициент пропорциональности между w и Е², согласно (6.2) есть удельная проводимость g; следовательно, полученное выражение (6.6) – это закон Джоуля –Ленца в дифференциальной форме.

3. Закон Видемана – Франца. Давно было замечено, что металлы, обладающие более высокой электропроводностью, имеют и лучшую теплопроводность. Видеман и Франц на основании опытных данных в 1853 г. пришли к заключению, что отношение коэффициента теплопроводности К к удельной электропроводности g для всех металлов при одинаковой температуре одинаково и увеличивается пропорционально абсолютной температуре T (закон Видемана-Франца):

К / g = b T,

где b - постоянная, не зависящая от рода металла.

Классическая электронная теория легко объясняет и эту закономерность. Действительно, электроны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только свой электрический заряд, но и присущую им энергию беспорядочного теплового движения, т.е. осуществляют перенос тепла. В металлах концентрация электронов весьма велика и все тепло практически переносится электронами, а ионная решетка принимает лишь небольшое участие в этом процессе. Поэтому те металлы, которые хорошо проводят электричество, являются и хорошими проводниками. Элементарная классическая теория металлов позволила найти значение b: b = 3(k/e)², где k – постоянная Больцмана. Это значение довольно хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие теоретического значения с опытным случайно. Лоренц, учтя распределение электронов по скоростям, получил b = 2(k/e)², что привело к резкому увеличению расхождения теории с опытом.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: