Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Алгебраїчні операції та їх властивості




Лекція 7

Поняття алгебраїчної структури включає визначену множину об’єктів та операції над цими об’єктами. Ми вже знайомі з алгебраїчними структурами на множинах натуральних чисел, на множинам та відношеннях. Розглянемо такі алгебраїчні структури, як півгрупи, моноїди і групи.

Операцією на множині S називається функція f, яка є відображенням виду

Sn ® S, nÎN, Sn = S´ S´ S´…´ S – декартів добуток.

В цьому визначенні є два важливих моменти:

w По-перше, оскільки операція є функцією, то результат застосування операції визначається однозначно. Тому даний упорядкований набір з n елементів множини S функція f переводить тільки в один елемент із S.

w По-друге, операція замкнена на S у тому розумінні, що область визначення та область значень операції лежать у Sn і S відповідно.

Стверджують, що операція Sn ® S має порядок n, або є n-арною операцією. Операція виду S ® S називається унарною, а S2 ® S – бінарною. Елементи упорядкованого набору з n елементів називають операндами. Операції, що позначають символами, називають операторами. У випадку унарної операції оператор ставиться перед або над операндом.

Приклад. Приклади унарних операцій – зміна знаку, зведення до степеня. В алгебрі множин унарною є операція доповнення. Бінарними операціями на множині дійсних чисел є арифметичні операції додавання, віднімання, множення, ділення. В алгебрі множин бінарними є операції поєднання, перетину, різниці.

Операції записують одним з 3-х способів:

Infix: a + b, - оператор ставиться між операндами;

Prefix: + a b, - оператор перед операндами;

Postfix: a b +, - оператор після операндів.

Приклад. Нехай є вираз, який у стандартній, звичній для нас Infix-формі виглядає так: 1 + 2 * 3 + (4 + 5 * (6 + 7)).

Цей же вираз в Postfix-формі має вигляд: 1 2 3 * + 4 5 6 7 + * + +.

Обчислимо цей вираз: 1 2 3 * + 4 5 6 7 + * + + = 1 6 + 4 5 6 7 + * + + = 7 4 5 6 7 + * + + = 7 4 5 13 * + + = 7 4 65 + + = 7 69 + = 76.

Крім стандартних відомих операцій існує багато інших, залежно від множини на якій вона визначається. Ми будемо використовувати символи ⊗ і ⊕ для позначення абстрактних бінарних операцій.

a b c
a a a b
b b a c
c a b b

Бінарні операції визначені на скінченних множинах, зручно визначати у вигляді таблиці. Таблиця, що визначає деяку бінарну операцію на множині А називається таблицею Келі.

Приклад. На множині A={a, b, c} визначена операція ⊗ у вигляді таблиці Келі. Отже a ⊗ b = a; b ⊗ b = a; …

Наведемо важливі властивості, які можуть мати операції:

Нехай дано множину А, на якій визначено певну бінарну операцію ⊗. Операція - комутативна, якщо a ⊗ b = b ⊗ a для всіх a, b ÎА.

Якщо (a ⊗ b) ⊗ с = a ⊗ (b ⊗ с) для всіх a, b, с ÎА, то операція ⊗ - асоціативна.

Нехай на множині А визначено дві бінарні операції ⊗ і ⊕. Якщо для всіх a, b, с ÎА виконується рівняння a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c), то операція ⊗ має властивість дистрибутивності відносно операції ⊕.

Зауважимо, що у визначенні асоціативності порядок операндів a, b і с збережено і використано круглі дужки, щоб вказати порядок операцій.

Приклад. Звичайна арифметична операція додавання комутативна і асоціативна, а операція віднімання – не комутативна. Крім того, на множині дійсних чисел операція множення дистрибутивна відносно додавання, але додавання не дистрибутивне відносно множення.

Для розв’язування рівнянь відносно кожної операції у множині-носії алгебраїчної структури виділяється особливий елемент, що називається одиничним.

Якщо для бінарної операції ⊗ на множині А існує елемент e ÎA такий, що для всіх а ÎA, eа= а, тоді е називається одиницею відносно до операції ⊗.

Нехай ⊗ - операція на множині А з одиницею е і елементами х і уÎA, що задовольняють рівності х ⊗ у = у ⊗ х = е. Тоді у називається оберненим елементом до х відносно до операції ⊗, і х буде також оберненим елементом до у відносно операції ⊗.

У випадках, коли бінарна операція аналогічна до множення, то одиничний елемент позначається як 1, а елемент, обернений до х позначається як х-1. Для бінарної операції, аналогічної додаванню, одиничний елемент позначається як 0, а обернений до х елемент записується як –х.

В алгебрі множин для операції об’єднання (È) одиничним елементом є пуста множина, а для операції перетину (Ç) одиницею є універсальна множина U.

Нехай n – довільне натуральне число. Додавання за модулем n цілих чисел а і b є решта від ділення суми a + b на n. Множення за модулем n цілих чисел а і b є решта від ділення добутку a×b на n. Ці операції (позначимо їх як ⊗ n, ⊕ n) визначені на множині цілих невід’ємних чисел Z+:

, так, що a + b = k*n + c, 0£ c<n.

, так, що a * b = k*n + d, 0£ d<n.

Областю значень таких операцій є множина Zn={0, 1, 2…n-1}.

Приклад.


3 2 = залишок (2+2)/3 = 1;

2 ⊕4 2 = зал. (4/4) = 0;

7 ⊕10 8 = зал. (15/10) = 5;

7 ⊕12 8 = зал. (15/12) = 3;

2 ⊗3 2 = зал. (4/3) = 1;

2 ⊗4 2 = зал. (4/4) = 0;

7 ⊗10 8 = зал. (56/10) = 6;

7 ⊗12 8 = зал. (56/12) = 8; 2






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных