Найпростіші види алгебраїчних структур

Розглянемо основні типи алгебраїчних структур, які мають тільки одну бінарну операцію.

Підгрупою називається алгебраїчна структура з множиною-носієм А і бінарною операцією Ä: А²®А, яка задовольняє властивості асоціативності:

x Ä (y Ä z) = (x Ä y) Ä z; x, y, z ÎA.

Моноїдом називають таку алгебраїчну структуру з множиною-носієм М і бінарною операцією Ä: М²®М, такою, що:

Ä - асоціативна: x Ä (y Ä z) = (x Ä y) Ä z; x, y, z ÎМ;

Існує е ÎМ – одиниця відносно Ä: x Ä е = е Ä х = х, x ÎМ;

Таким чином, моноїд – це півгрупа з одиницею. Півгрупи і моноїди використовуються при обробці рядків символів. Розглянемо приклади.

Приклад. При обробці рядків символів використовується операція конкатенації – злиття рядків. Позначимо її символом ·. Конкатенація визначається як a·b = ab, наприклад: «паро» · «ход» = «пароход», «паро» · «воз» = «паровоз»;

Ця операція асоціативна, тому що: «пар» · («о» · «ход») = («пар» · «о») · «ход».

Отже, якщо А – множина різних рядків, що складаються з букв українського алфавіту, то (А, ·) – є моноїдом, бо на множині А є одиничний елемент. Якщо e позначити пустий рядок, тобто e = «», то виконується рівність: «» · «жах» = «жах» · «» =«жах».

Групою називають множину G з бінарною операцією Ä, що замкнена на G, такою, що:

w Ä - асоціативна: x Ä (y Ä z) = (x Ä y) Ä z; x, y, z ÎG;

w Існує е ÎG – одиниця відносно Ä: x Ä е = е Ä х = х, x ÎG;

w Кожному елементу x ÎG відповідає обернений елемент х’ÎG: х’ Ä х = x Ä х’ = е.

Із визначення маємо, що група – це моноїд, в якому всі елементи – оборотні. Часто до слів «група» і «моноїд» приписують термін «комутативний». Це означає, що операція Ä у розглянутій структурі задовольняє властивості комутативності:

x Ä y = у Ä х; x, y ÎG або М;

Комутативна група називається абелевою групою.

Приклад 1. Групою є множина дійсних чисел з операцією додавання, або множина дійсних чисел з операцією множення.

Приклад 2. Структура (N; +) не є група, бо елементи не мають обернених елементів і не існує одиниці. Насправді структура є півгрупою.

Приклад 3. структури (R; *) і (N, *) – не є групами, а є моноїдами. Одиничним елементом є 1. Обернені елементи існують на множині дійсних чисел для всіх елементів крім 0 (не виконується 0 * 0^-1 = 1). Таким чином, операція множення може задавати групу тільки на множині дійсних додатних чисел (R₊; *).

Приклад 4. Позначимо M_n(R) множину всіх квадратних матриць порядку n з елементами з множини дійсних чисел. Структура (M_n(R), +) – комутативний моноїд з одиницею – нульовою матрицею. Структура (M_n(R), *) – не комутативний моноїд з одиницею – одиничною матрицею.

Приклад 5. Структура (Z_n; Å_n) – група з одиницею 0 і оберненим елементом х^‑1 = n – х.

Запитання

1. Дайте визначення операції і наведіть приклади операцій, що задані на різних множинах.

2. Яка з наведених дій, що задані на множині натуральних чисел N, можна назвати операціями:

a) Збільшення на 1;

b) Знаходження числа, кратного даному;

c) Додавання за модулем 5;

d) Знаходження числа, меншого, ніж дане;

e) Знаходження найбільшого спільного дільника;

f) Знаходження числа, яке при діленні на 7 дає в залишку 6.

3. Що називається порядком операції? Наведіть приклади унарної, бінарної, n-арної операції.

4. Дайте визначення півгрупи, моноїда, групи.

5. Які властивості має таблиця Келі для скінченної групи?

6. Дайте визначення алгебраїчної структури.

7. Що називається підструктурою алгебраїчної структури? Яким відношенням пов’язані множини-носії алгебраїчної структури та підструктури?

8. Дайте визначення гомоморфізму та ізоморфізму. Чим вони відрізняються?

9. Наведіть приклад ізоморфних алгебраїчних структур.

10. Наведіть приклад гомоморфізму, що не є ізоморфізмом.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: