Главная | Случайная

КАТЕГОРИИ:






Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников. 1. Натуральное число п умножили на сумму его цифр и получили 1000

По математике

Класс

Задания.

1. Натуральное число п умножили на сумму его цифр и получили 1000. Найдите все такие числа п.

 

2. При каких значениях параметра а уравнения 2х + а2 – 4 = 0 и

2 + (а2 – 4) х + а = 0 будут иметь общий корень? Найдите этот корень.

 

3. Найдите произведение

(sin0º – cos0º)(sin1º – cos1º)…(sin89º – cos89º)(sin90º – cos90º).

 

4. В школьном туре по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. Перед началом турнира в нём решила принять участие ещё одна команда, в результате чего количество встреч, необходимых для проведения турнира, увеличилось на 20 %. Сколько команд участвовало в турнире?

 

5. На сторонах BC и BA треугольника ABC выбраны соответственно точки D и E так, что DE AC . Оказалось, что биссектрисы углов AED и EDC пересекаются в точке F , лежащей на стороне AC . Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC , является центром окружности, описанной около треугольника EDF .


 

Ответы , указания, решения.

(может быть предложено другое решение)

1. Ответ.125 и 1000.

Решение.Раскладывая 1000 в произведение двух множителей: 1000 × 1,

500 × 2, 250 × 4, 200 × 5, 125 × 8, 100 × 10, 50 × 20, 40 × 25 мы получаем два варианта ответа.

 

2. Ответ.а = 0, х = 2

Решение.Если х – корень уравнения 2х + а2 – 4 = 0, то он также и корень уравнения х( 2х + а2 – 4) = 0 , то есть 2 + (а2 – 4) х = 0. Кроме того, по условию, х – корень уравнения 2 + (а2 – 4) х + а = 0 . значит х – корень уравнения (2 + (а2 – 4) х + а) – (2х2 + (а2 – 4) х ) = 0, то есть а = 0. Осталось проверить, что при таких а оба уравнения имеют общий корень х = 2.

 

3. Ответ. 0.

Решение. Среди сомножителей есть разность sin45º – cos45º, равная 0, поэтому произведение равно 0.

 

4. Ответ.12 команд после включения в турнир новой команды.

Решение. В турнире с участием п команд проводится игр (каждая из п команд сыграла п – 1 игру, и при этом каждая игра получилась сосчитанной дважды). Поэтому условие можно записать так: = 1,2 , откуда п = 11.

 

5. Решение. Из параллельности следует, что AFE = FED = AEF. Значит, треугольник AEF – равнобедренный: AE = AF . Значит, биссектриса угла EAF является медианой и высотой треугольника AEF, то есть серединным перпендикуляром к стороне EF . Аналогично, биссектриса угла DCF является серединным перпендикуляром к стороне DF .

Центр окружности, вписанной в треугольник ABC – это точка пересечения упомянутых биссектрис, а центр окружности, описанной около EDF – это точка пересечения упомянутых серединных перпендикуляров. Значит, эти точки совпадают.


 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников. 1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011 | Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
vikidalka.ru - 2015-2017 год. Все права принадлежат их авторам!