ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Теория групп и квантовая механика. Применение теории групп для квантовомеханических исследований связано, главным образом, с определённой симметрией гамильтониана физической задачиПрименение теории групп для квантовомеханических исследований связано, главным образом, с определённой симметрией гамильтониана физической задачи. В квантовой механике часто встречаются функции многих переменных . Будем записывать их в виде, где вектор в n- мерном векторном пространстве. Исследуем изменение этих функций при вещественных ортогональных преобразованиях координат. Запишем это преобразование в матричной форме или просто . В этом выражении - матрица с элементами . Для матрицы ортогональных преобразований можно записать цепочку равенств: обратная матрица равна своей транспонированной , которой, в свою очередь, равна эрмитово сопряжённая , т.е. Здесь уместно рассмотреть ещё одну трактовку группы вращений. С одной стороны, унитарные (ортогональные матрицы) рассматриваются как преобразования координат неподвижных векторов (как у нас и записано) при вращениях системы координат, либо как вращение пространства . Иными словами, группа унитарных (ортогональных) матриц с определителем, равным единице, изоморфна не только группе вращений пространства, но и группе вращений системы координат. В силу этого изоморфизма обе группы носят общее название группы вращений. Возвратимся к материалу параграфа. Функцию можно переписать в новой системе координат. Пусть, например, она описывает барометрическое давление в зависимости от широты и долготы, а матрица описывает вращение системы координат на этой карте. Говоря о функции в новой координатной системе, будем пользоваться обозначением . Поскольку погода, где бы то ни было, не может зависеть от того, вращает ли метеоролог свою координатную систему, должно быть справедливо соотношение или . Отметим, что знак равенства здесь означает одинаковые численные значения рассматриваемой функции в соответствующих точках, но необязательно один и тот же функциональный вид её в разных системах координат. Мы можем формально определить операцию, обратную , введя матрицу обратную , тогда по аналогии, с написанными выше, выражениями, имеем соотношение . Отсюда и из верхних соотношений нетрудно получить такую цепочку равенств . Совокупность этих выражений как раз и доказывает изоморфность группы вращения пространства группе операций вращения системы координат. Запишем уравнение Шрёдингера Оператор Гамильтона H(x) может содержать не только функции переменных, но и соответствующие производные. Пользуясь определениями операторов и , напишем . Так как это выражение не содержит никаких предположений относительно оператора Гамильтона , то операторы в этом выражении слева и справа должны быть равны, т.е. . Преобразования координат, которые мы называем операциями симметрии, могут оставлять гамильтониан системы совершенно неизменным: . Таким образом, из последних двух соотношений получаем , т. е. операторы симметрии и гамильтониана коммутируют. Но из квантовой механики известно, коммутирующие операторы имеют один и тот же набор собственных функций. Отсюда следует важность изучения представлений групп для данной задачи: каждому собственному значению энергии мы можем сопоставить некоторое представление группы и установить возможные типы симметрии волновых функций системы, не решая уравнения Шрёдингера. Для решения задач конденсированного состояния вещества, в частности, для молекул и твёрдых тел так и поступают. Здесь мы не имеем возможности рассмотреть построение неприводимых представлений и их базисов конкретных групп. Однако отдельные примеры такого построения будут рассмотрены в соответствующих разделах. Для решения задач в мире элементарных частиц используются релятивистки - инвариантные уравнения, т.е. уравнения инвариантные относительно преобразований группы Лоренца. Более подробно теорию групп и её применение для решения физических задач, более подробно можно ознакомиться по литературе приведённой в конце конспекта. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|