Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Теория групп и квантовая механика. Применение теории групп для квантовомеханических исследований связано, главным образом, с определённой симметрией гамильтониана физической задачи




Применение теории групп для квантовомеханических исследований связано, главным образом, с определённой симметрией гамильтониана физической задачи. В квантовой механике часто встречаются функции многих переменных . Будем записывать их в виде, где вектор в n- мерном векторном пространстве. Исследуем изменение этих функций при вещественных ортогональных преобразованиях координат. Запишем это преобразование в матричной форме

или просто . В этом выражении - матрица с элементами .

Для матрицы ортогональных преобразований можно записать цепочку равенств: обратная матрица равна своей транспонированной , которой, в свою очередь, равна эрмитово сопряжённая , т.е.

Здесь уместно рассмотреть ещё одну трактовку группы вращений. С одной стороны, унитарные (ортогональные матрицы) рассматриваются как преобразования координат неподвижных векторов (как у нас и записано) при вращениях системы координат, либо как вращение пространства . Иными словами, группа унитарных (ортогональных) матриц с определителем, равным единице, изоморфна не только группе вращений пространства, но и группе вращений системы координат. В силу этого изоморфизма обе группы носят общее название группы вращений. Возвратимся к материалу параграфа.

Функцию можно переписать в новой системе координат. Пусть, например, она описывает барометрическое давление в зависимости от широты и долготы, а матрица описывает вращение системы координат на этой карте. Говоря о функции в новой координатной системе, будем пользоваться обозначением . Поскольку погода, где бы то ни было, не может зависеть от того, вращает ли метеоролог свою координатную систему, должно быть справедливо соотношение

или

.

Отметим, что знак равенства здесь означает одинаковые численные значения рассматриваемой функции в соответствующих точках, но необязательно один и тот же функциональный вид её в разных системах координат. Мы можем формально определить операцию, обратную , введя матрицу обратную , тогда по аналогии, с написанными выше, выражениями, имеем соотношение

.

Отсюда и из верхних соотношений нетрудно получить такую цепочку равенств

.

Совокупность этих выражений как раз и доказывает изоморфность группы вращения пространства группе операций вращения системы координат.

Запишем уравнение Шрёдингера

Оператор Гамильтона H(x) может содержать не только функции переменных, но и соответствующие производные. Пользуясь определениями операторов и , напишем

.

Так как это выражение не содержит никаких предположений относительно оператора Гамильтона , то операторы в этом выражении слева и справа должны быть равны, т.е.

.

Преобразования координат, которые мы называем операциями симметрии, могут оставлять гамильтониан системы совершенно неизменным:

.

Таким образом, из последних двух соотношений получаем

,

т. е. операторы симметрии и гамильтониана коммутируют. Но из квантовой механики известно, коммутирующие операторы имеют один и тот же набор собственных функций. Отсюда следует важность изучения представлений групп для данной задачи: каждому собственному значению энергии мы можем сопоставить некоторое представление группы и установить возможные типы симметрии волновых функций системы, не решая уравнения Шрёдингера.

Для решения задач конденсированного состояния вещества, в частности, для молекул и твёрдых тел так и поступают. Здесь мы не имеем возможности рассмотреть построение неприводимых представлений и их базисов конкретных групп. Однако отдельные примеры такого построения будут рассмотрены в соответствующих разделах. Для решения задач в мире элементарных частиц используются релятивистки - инвариантные уравнения, т.е. уравнения инвариантные относительно преобразований группы Лоренца.

Более подробно теорию групп и её применение для решения физических задач, более подробно можно ознакомиться по литературе приведённой в конце конспекта.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных