Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Конкретные примеры прямой и обратной решёток. Как было отмечено в п.2 элементарную ячейку решётки Браве, а, следовательно, и рассматриваемый кристалл




Прямые решётки.

Как было отмечено в п.2 элементарную ячейку решётки Браве, а, следовательно, и рассматриваемый кристалл, можно описать с помощью трёх некомпланарных векторов a,b,c, направленных вдоль рёбер соответствующего параллелепипеда. Однако удобнее выбрать векторы элементарной ячейки таким образом, чтобы она явно обладала симметрией решётки Браве.

Предположим, что некоторая точка структуры есть центр симметрии, тогда и все эквивалентные точки обладают этим свойством. Такую точку можно выбрать в качестве центра ячейки; при этом сама ячейка будет центрально симметричной. Теперь можно предложить регулярный приём построения ячеек, центрированных таким образом и называемых ячейками Вигнера-Зейтца.

Здесь мы рассмотрим один случай, который иллюстрирует многие основные закономерности и, кроме того, представляет самостоятельный интерес, поскольку эта структура действительно реализуется в кристаллах некоторых химических элементов. Мы обсудим кубическую объёмноцентрированную решётку (рис. а).

Она на первый взгляд представляет собой кубическую решётку с двумя атомами в элементарной ячейке или две взаимопроникающие простые кубические подрешётки, определяемые равенствами

,

,

где - целые числа.

Если, однако, мы напишем

, , ,

то векторы всех точек будут записаны так ,

где - целые числа. Если сумма нечётная, то мы попадаем в центр куба, если чётная – в его вершины. Таким образом (см. рис. б), это действительно решётка Браве.

Вместо кубической элементарной ячейки можно рассмотреть ячейку Вигнера - Зейтца; для её построения нужно «отрубить» (см. рис. в) вершины куба на половине их расстояния до центра. Получаемая фигура имеет, очевидно, ту же симметрию, что и куб.

 

 

Рассмотрим теперь гранецентрированную кубическую решётку. Она строится из четырёх взаимопроникающих простых кубических решёток, расположенных таким образом, что если мы посмотрим на одну из них, то увидим узлы, как в центре каждой грани её элементарной ячейки, так и вершинах куба (см. рис. а)

Эта структура, если выбрать векторы в качестве базисных, как и в объёмноцентрированной решётке, будет иметь четыре узла в элементарной ячейке. Однако если в качестве базисных векторов выбрать половины диагоналей граней куба

,

где a- длина ребра куба (постоянная решётки), то линейная комбинация этих векторов с целочисленными коэффициентами может определить любой узел решётки.

Поэтому фактически гранецентрированная решётка есть решётка Браве с выше приведённой тройкой базисных векторов.

2. Обратные решётки. Допустимые значения векторов , нумерующих неприводимые представления группы трансляций, отстоят друг от друга, как видно из формулы, на расстоянии в направлении . Но - порядка , а - длина стороны образца. Таким образом, набор значений вектора определяется не только структурой кристалла, но и зависит от размеров образца. В обратном пространстве объём вокруг каждой точки из данного набора равен

,

где произведение в числителе является объёмом ячейки обратной решётки.

Тождество .

Позволяет записать формулу для плотности векторов в единице объёма обратного пространства

,

где V - объём кристалла.

Для бесконечного кристалла наш набор дискретных точек в ячейке обратной решётке расплылся бы в континуум.

Геометрические свойства обратной решётки могут быть столь же разнообразны, сколь и свойства прямой решётки, из которой она была получена. Отметим здесь такое обстоятельство. Воспользуемся базисными векторами гранецентрированной кубической решётки и построим базисные векторы обратной решётки. Несложные алгебраические преобразования приведут нас к такому результату:

.

Решётка образованная этими векторами,- объёмноцентрированная кубическая.

Наоборот, обратной решёткой для объёмноцентрированной кубической решётки является решётка гранецентрированная кубическая.

Мы уже вводили понятие приведённой зоны Бриллюэна -элементарной ячейки обратного пространства. Можно говорить, что зоной Бриллюэна является ячейка Вигнера - Зейтца для обратного пространства. Приведём их для обсуждавшихся выше, кубических решёток (ОЦК) и (ГЦК) соответственно.

 

 

В терминах общего тензорного исчисления базис прямой решётки называется ковариантным базисом, а базис обратной решётки - контравариантным. Нетрудно показать, что каждый из векторов обратной решётки ортогонален некоторой плоскости, образованной узлами основной решётки.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных