Спектр нормальных колебаний решётки.

Важным вопросом при изучении колебаний решётки является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам. Этот вопрос мы уже частично рассматривали в простейшем случае колебаний линейной цепочки. Было показано, что длины волн, которые могут возникать в такой цепочке, равны

, (5.6.1)

где L- длина цепочки, N -число атомов в ней.Число нормальных колебаний z с длиной волны, равной или большей равно, очевидно, n

. (5.6.2)

Для трёхмерного кристалла с объёмом V, строгий расчёт показывает, что

. (5.6.3)

И, так как, поэтому, имеем

.(5.6.4)

После дифференцирования этого выражения получим

. (5.6.5)

Из этой формулы получаем число нормальных колебаний, заключённых в интервале частот от частоты до в таком виде

. (5.6.6)

Эта функция определяет число нормальных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, и называется функцией распределения нормальных колебаний по частотам. Так как полное число колебаний, которое может возникнуть в решётке равно 3 N, то она должна удовлетворять следующему условию нормировки

, (5.6.7)

где - максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху. Аналитическое вычисление этого интеграла даёт такое выражение

. (5.6.8)

Отсюда находим

. (5.6.9)

Частота называется характеристической дебаевской частотой. Температура, определённая с помощью соотношения (k - постоянная Больцмана) называется характеристической температурой Дебая. В качестве примера ниже в таблице приведены температуры химических элементов и некоторых соединений

При температуре Дебая в твёрдом теле возбуждается весь спектр нормальных колебаний, включая и колебания с максимальной частотой. Поэтому дальнейшее повышение температуры выше не может уже вызвать появление новых нормальных колебаний. Действие температуры в этом случае сводится лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящее к возрастанию их средней энергии. Температуры принято называть высокими. С учётом частоты Дебая, выражение для плотности состояний может быть преобразовано у виду

. (5.6.10)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: