Теплоёмкость электронного газа. Как уже неоднократно отмечалось,распределение электронов по состояниям описывается сраспределением Ферми – Дирака

Как уже неоднократно отмечалось,распределение электронов по состояниям описывается сраспределением Ферми – Дирака. Приведём здесь формулу этого распределения ещё раз

. (5.8.1)

Здесь, как и ранее, через обозначен химический потенциал вырожденного газа фермионов, который в применении к такому газу мы называли уровнем Ферми. Со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2 при любой температуре. . С повышением ттеипературы электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни, вследствие чего меняется характер их распределения по состояниям. Однако в интервале температур, в котором энергия теплового движения остаётся значительно меньше энергии Ферми, тепловому возбуждению могут подвергнуться электроны, лишь узкой полосы , непосредственно расположенной у уровня Ферми (см. рис. а, б).

Электроны более глубоких состояний остаются практически незатронутыми. В результате теплового возбуждения часть электронов, имевщих энергию меньше энергии Ферми, переходят на уровни с энергией большей энергии Ферми. В результате станавливается новое их распределение по состояниям (рис. б).

Теперь найдём теплоёмкость электронного газа. Для этого необходимо найти зависимость его энергии от температуры. Сделаем это в приближении свбодных электронов, тогда

, (5.8.2)

Подстановка сюда необходимых формул в подынтегральное выражение позволяет после некоторых весьма трудоёмких преобразований получить для электронной энергии u в единице объёма приближённое выражение такого вида

. (5.8.3)

Отсюда легко находим теплоёмкость электронного газа

. (5.8.4)

Преобразуем это выражение к явной зависимости от энергии Ферми и концентрации электронов

. (5.8.5)

Вспоминая классическое выражение для теплоёкости , мы видим, что статистика Ферми – Дирака приводит к понижению удельной теплоёмкости за счёт множителя , который пропорционален температуре и даже при комнатной температуре имеет порядок всего лишь 0.01.Этим и объясняется отсутствие вклада в теплоёмкость при комнатной температуре. Предсказание электронного линейного вклада в удельную теплоёмкость представляет одно из важнейших следствий статистики Ферми – Дирака. На самом деле при высоких температурах основной вклад в теплоёмкость вносят ионные степени свободы. Однако при температурах ниже комнатной их вклад падает пропорционально кубу температуры и при очень низких температурах становится ниже электронного, который уменьшается линейно. Для того, чтобы явно разделить эти два вклада, обычно строят зависимость от . Действительно, с учётом электронного и ионного вкладов, теплоёмкость будет иметь вид

, тогда . (5.7.6)

Линейно экстраполируя кривую вниз до T= 0 и находя точку её пересечения с осью , можно определить .

Линейная зависимость электронной теплоёмкости от температуры подтверждается экспериментально. Такие измерения позволяют опредедять плотность состояний вблизи уровня Ферми, причём именно измерения электронной теплоёмкости являются одним из прямых методов определения зонной структуры твёрдых тел. Значения коэффициента , полученные экспериментально для ряда простых металлов прведены в таблице

Расчёты плотости состояний по этим данным, показывают, что её величина имеет порядок на Джоуль на моль, или состояний /Джоуль/ (для простых металлов).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: