Разложение функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд.

Если бесконечно дифференцируема в окрестности точки и формально составленный степенной ряд для этой функции сходится и его сумма равна , то говорят, что разлагается в степенной ряд.

Теорема 1. Если функция разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Теорема 2. (необходимое и достаточное условие разложения функции в степенной ряд). Для того, чтобы разлагалась в степенной ряд, необходимо и достаточно, чтобы была бесконечно дифференцируема в окрестности точки и чтобы в формуле Тейлора (4) .

Теорема 3. (достаточное условие разложения функции). Если в окрестности точки функция бесконечно дифференцируема и все её производные ограничены по модулю сверху числом M, то есть ,

то функция разлагается в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена – степенные ряды, позволяют оценить ошибки в приближенных равенствах, получить приближенные равенства нового типа.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: