ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Понятие дифференцируемости функции двух переменных
Определение 26.3. Пусть определена функция , тогда - полное приращение функции. Определение 26.4. Пусть функция определена в окрестности точки . Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: (26.1), где -константы, -бесконечно малые функции при .
Теорема 26.1. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Очевидно из (26.1): .
Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные , причем: . (26.2)
Доказательство. Пусть имеет место формула (26.1). Положим , где при - бесконечно малая функция. Разделив на , и переходя к пределу при , получим: , то есть частная производная по переменной существует и равна . Второе равенство доказывается аналогично.
Замечание 1. Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!
Пример 26.2. непрерывна в точке (0,0), но не существует. Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.
Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.
Пример 26.3. Функция имеет частные производные в точке (0,0), но не является в этой точке непрерывной, следовательно – не дифференцируема.
Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в точке .
Следствие. Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.
Определение 26.5. Если функция дифференцируема в точке , то дифференциалом называется линейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке , т.е. , или (26.3)
Дифференциалами независимых переменных называются их приращения
(26.3’)
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|