ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.Формула Моавра.Из дифференциального исчисления известно, что если функция f(x) имеет в некоторой окрестности производные до порядка n включительно, то можно написать формулу Тейлора для этой функции. Положим при любом n = 1, 2,…
и Если (1.1) то ряд
сходится и его суммой будет функция f(x). Определение 1.1. Представление функции f(x) в виде ряда (1.2) называется разложением этой функции в ряд Тейлора. Определение 1.2. Разложение функции f(x) в ряд Тейлора при x0=0 (1.3) называется разложением этой функции в ряд Маклорена. Подчеркнем, что из сходимости ряда Тейлора для функции f(x) еще не следует его сходимость именно к этой функции, поэтому при разложении функции в ряд Тейлора следует проверять соблюдение условия (1.1). Теорема 1.1. Пусть (1.4) где стоящий справа ряд сходится в некотором отрезке к функции f(x). Тогда этот ряд является рядом Тейлора, то есть (1.5) Доказательство. Применим к равенству (1.4) п раз теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Тогда получим
Если в этом тождестве положить x=x0, то все слагаемые справа, кроме первого, обратятся в нуль и получим откуда и следует (1.5). Теорема доказана. 2. Разложение основных элементарных функций. Теорема 2.1. Если функция f(x) определена и имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует постоянная, такая, что при любых х и п удовлетворяет неравенству то функция f(x) разлагается в ряд Тейлора (1.2) при любом x0. Приведем без доказательства следующие разложения элементарных функций в ряд Маклорена
это разложение имеет место при любом натуральном значении и любом значении x, если число не является натуральным, то данное равенство справедливо лишь при –1< x <1;
Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что для любого Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где b — целое число.[1] Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа: где k = 0, 1, …, n —1. Из основной теоремы алгебры следует, что корни n -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в нуле. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|