Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

О: Под полярной системой координат понимается совокупность т. (полюса) и исходящей из данной точки направленной полупрямой (полярной оси). В качестве полярных координат т. обозначают числа (полярный радис) и (полярный угол) (рис. 18.4, а).

Рис. 18.4

При между точками плоскости и парами чисел формируется взаимно однозначное соответствие.

Допустим, что начало прямоугольной системы координат совпадает с полярной осью. В этом случае зависимость между кординатами т. в декартовой и полярной системах находится с помощью формул (рис. 18.4, б).

(18.1)

Для определения , поскольку формулы (18.1) дают два значения полярного угла от до .

Линию в полярной системе находят с помощью уравнения . Допустим, является уравнением окружности с центром в полюсе и радиусом (рис. 18.5, а); представляется в качестве уравнения трехлепестковой розы (рис. 18.5, б).

Рис. 18.5

О: Под криволинейным сектором в полярной системе координат понимается фигура , имеющая границу (рис. 18.6, а).

Для вычисления площади криволинейного сектора разделим его на частей с помощью лучей Представим, что является длиной некоторго радиус-вектора, находящегося в (рис. 18.6, б).

Рис. 18.6

В качестве площади криволинейного сектора можно представить

Учитывая то, что в правой части данного уравнения обозначена интегральная сумма для функции на отрезке , в итоге можно записать

Пример: Определить площадь, которая являтся ограниченной трехлепестковой розой (рис. 18.5, б).

Достаточно найти площадь половины одного лепестка при . В этом случае

Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами - целая окружность имеет 360°. Половина окружности 180°.

Длина дуги, пропорциональна ее радиусу и величине центрального угла.

(r - радиус дуги, n - центральный угол дуги в градусах.)

Пусть криволинейная трапеция D c границей

вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сечениями являются круги с радиусами у (х), поэтому

и

Пусть криволинейная трапеция D с границей х = х(у),у=с, y=d(c<d),x = 0 вращается вокруг оси OY, тогда

Пример: Определить объем тела, образованного вращением фигуры D с границей = 4 - х, х = 0: а) вокруг оси ОХ;

б) вокруг оси OY.

При вращении фигуры D вокруг оси ОХ получим параболоид (рис. 18.8, а), объем которого

Рис. 18.8

При вращении фигуры D вокруг оси OY получаем тело, изображенное на рис. 18.8, б. Его объем

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: