ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Расширенное определениеОбычная формула Бернули применима на случай когда при каждом испытании возможно одно из двух cобытий. Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью , где . Вероятность появления раз первого события и - второго и раз k-го находится по формуле , где Свойства Пусть p - вероятность успеха в схеме Бернулли, q=1-p. Тогда самым вероятным среди событий является событие , где можно найти с неравенства . Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона. Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность наступления события ровно раз приближенно равна ,(3.4) где . Доказательство. Пусть даны вероятность наступления события в одном испытании и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли: При достаточно большом!!n,, и сравнительно небольшом!!m,, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е. Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел Тогда получим (3.5) Пример. На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три и ровно пять битых бутылок. Решение. Дано: n = 100000, p = 0,0001, m = 3 (m = 5). Находим . Воспользуемся формулой Пуассона Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна P(k1;k2)=Φ(x'') - Φ(x') Здесь - функция Лапласа Значения функции Лапласа находят по специальной таблице. Пример. Найти вероятность того, что событие А насту пит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25. Решение. По условию, n=243; k = 70; р =0,25; q= 0,75. Так как n=243 - достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: где х = (k—np)/ √npq. Найдем значение х По таблице п найдем ф(1,37) =0,1561. Искомая вероятность P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|