Понятие устойчивости линеаризованных систем

Устойчивость нелинейной системы можно во многих случаях оценивать с помощью линеаризованной системы. Для этого применяют теоремы Ляпунова, которые связывают корни характеристического полинома ∆(s) линейной модели и устойчивость нелинейной системы в окрестности точки линеаризации:

1) если все корни имеют отрицательные вещественные части, то нелинейная система также устойчива;

2) если есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то нелинейная система неустойчива;

3) если нет корней с положительной вещественной частью, но есть хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, то об устойчивости нелинейной системы ничего нельзя сказать без дополнительного исследования.

Таким образом, для исследования устойчивости положения равновесия нелинейной системы нужно линеаризовать модель в окрестности этой точки и найти корни характеристического полинома.

Критерий Найквиста

Данный критерий определяет устойчивость по частотным характеристикам системы. Для построения частотных характеристик, например, АФХ требуется подстановка s = jw в передаточную функцию системы, которая, как правило, представляет собой дробно-рациональную функцию. Поэтому данный критерий более сложен для ручного расчета по сравнению с критерием Михайлова.

Последовательность:

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

2) Определяется число правых корней m.

3) Подставляется s = jw: W_¥(jw).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении w от 0 до ¥ АФХ W_¥(jw) m раз полуохватывала точку (-1; 0), где m - число правых корней разомкнутой системы, т.е. корней s_i > 0.

Eсли АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости (см. рисунок 1.45).

В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A(s) = 0 правых корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий можно переформулировать: замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутой системы W_¥(jw) не охватывает точку (-1; 0), в противном случае система неустойчива; если проходит через нее, то на границе устойчивости.

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

.

Для построения АФХ разомкнутой системы делается подстановка s = j*w в передаточную функцию:

,

где - действительная часть АФХ,

- мнимая часть,

а = (1 – 2*w²)² + (3,5w³ – 4*w)² – знаменатель.

По полученным формулам строится АФХ (см. таблицу 1.4 и рисунок 1.46). Характеристическое уравнение правых корней не имеет, АФХ охватывает точку (-1; 0), следовательно, замкнутая система неустойчива. ¨

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: