Линейная зависимость и независимость векторов. Пусть – векторы из некоторого линейного пространства

Пусть – векторы из некоторого линейного пространства.
Определение: Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор.
Примеры:
1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);
2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).
Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов получить нулевой вектор при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах мы всегда получим ).
Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.
Если , то .
И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации остальных векторов , то он в совокупности с ними дает систему линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации коэффициент .
Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы будут линейно независимы, если равенство возможно лишь при всех . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.
Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?
Решение. Составим линейную комбинацию . Подставим координаты и выполним действия над векторами: λ(2,4)+β(5,1)=(0,0) => (2λ,4λ)+(5β,β)=(0,0) => (2λ+5β,4λ+β)=(0,0).
В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:

Решив эту систему уравнений, получаем: а это значит, что линейно независимы.
Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?
Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к:
Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим
Решим систему уравнений: .
В этом решении число β играет роль параметра; задавая его произвольно, будем получать значения α и γ, которые вместе с β дают то или иное решение системы. Так, при β ≠ 0 получим α ≠ 0 и γ ≠ 0, из чего следует, что векторы дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы.

Полная система векторов

это система векторов такая, что любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов.
Если полная система векторов ещё и линейно независима, то она образует базис линейного пространства

2,3

Произведение длины проекции одного вектора на просто длину другого.
Ну то есть, берётся один вектор, проецируется на другой, берётся длина этой проекции и умножается на длину этого другого вектора.

Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора: