ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Геометрическая интерпретация скалярного произведения.Скалярное произведение (a, b) векторов a и b равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами. То есть (a, b) =| a | · | b | cos ∠(a, b), где ∠(a, b) есть угол между векторами a и b:
Проекцией вектора b на вектор a, , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.
2,4 2,5 Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и : . Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов: Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен Свойства смешанного произведения: 1° 2° 3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов. 5° 6° 7° 8° 9° 10° Тождество Якоби: Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле Теорема 4.10. Векторное произведение линейно по каждому из сомножителей. Теорема 4.6. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a, b] = -[b, a], ∀ a, b.
Смешанное произведение линейно по каждому аргументу. Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий: 1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции; 2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого. В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает: 1) ; 2) . Доказательство предложения 10.28. Соотношения и следуют из того, что abc является скалярным произведением a на и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3, теорема 10.2). Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено , поэтому Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично. 3,1 Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|