Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Числовые характеристики случайных величин




1. Математическое ожидание (среднее значение)

Определение:
Математическим ожиданием называется
- для
дискретной случайной величины: (6.4)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

- для непрерывной случайной величины: ; (6.5)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

 

Свойства математического ожидания:

a. Если С - постоянная величина, то МС = С
b. МСх = СМх
c. Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy d. Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

как или ; (6.6)

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

математическое ожидание: ; (6.7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба? Эту задачу можно решать "в лоб"

xi 1 2 3... k..  
p(xi): ,

но эту сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый же раз, Н2 - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½; Мx / Н1 = 1;
Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5, разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2.

e. Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

- для дискретной случайной величины: ; (6.8)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

-для непрерывной случайной величины: ; (6.9)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.

2. Дисперсия случайной величины
Определение:
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания: Dx = M(x-Mx)2

- для дискретной случайной величины: ; (6.10)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

- для непрерывной случайной величины: ; (6.11)

Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

Свойства дисперсии:
a. Если С - постоянная величина, то DС = 0
b. DСх = С2
c. Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин)
d. Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

Dx = Mx2 - (Mx)2 (6.12)

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных