Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Определенный интеграл.




 

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

 

 

y

M

 

 

m

 

 

0 a xi b x

 

 

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …,xn – xn-1 = Dxn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

 

[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.

 

Составим суммы:

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма верхней интегральной суммой.

Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)

 

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn.

 

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

 

Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =

Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi

 

Следовательно,

 

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

 

Если , то

 

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 

Обозначение:

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 

 

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

 

Также верны утверждения:

 

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

 

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных