ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
для студентов заочной формы обучения. Решение. По правилу действия над матрицамиОбразцы с решениями Пример 1. Даны матрицы: . Найти матрицу . Решение. По правилу действия над матрицами
. . .
Пример 2. Вычислить определитель . Решение. Вычислим определитель, разлагая его, например, по первой строке . Пример 3. Решить систему уравнений методом Крамера:
Решение. Найдем определитель основной матрицы: Так как , то система крамеровская. Найдем вспомогательные определители . Значит, Пример 4. Проверить, что векторы линейно независимы. Разложить вектор по векторам и . Решение. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны или координаты векторов пропорциональны, или определитель, составленный из координат векторов равен нулю. Координаты векторов и не пропорциональны: , следовательно, система , линейно независима, значит, на плоскости они образуют базис. Поэтому вектор можно разложить по векторам и . Разложить векторов по векторам и означает: найти числа такие, что . Или в координатной форме: . Так как два вектора равны тогда и только тогда, когда у них равны соответствующие координаты, то имеем систему уравнений Решая ее по методу Крамера, находим: . Таким образом, . Пример 5. Найти угол между векторами и в трехмерном пространстве. Решение. По определению скалярного произведению векторов . Отсюда . Значит, . Пример 6. Найти площадь треугольника , если . Решение. Треугольник составляет половину трапеции . Найдем координаты векторов , то есть, . Как известно, модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах. Найдем векторное произведение векторов: . Тогда . Площадь треугольника . Пример 7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках , . Решение. Найдем координаты векторов . Вычислим смешанное произведение векторов . Как известно, модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах. А объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда, поэтому объем пирамиды равен . Пример 8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и . Решение. Каноническое уравнение прямой, заданной двумя точками имеет вид . Подставив координаты данных точек в это уравнение, получим , то есть, . Пример 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . Решение. Из уравнения прямой видно, что она задается точкой и вектором . Найдем координаты вектора . Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя векторами, имеет вид Подставив данные из задачи, получим уравнение искомой плоскости . Или разложив определитель по первому столбцу, имеем или . Пример 10. Вычислить предел . Решение. Это неопределенность вида , в которых участвуют тригонометрические функции. Такие неопределенности часто раскрываются с помощью первого замечательного предела . . Пример 11. Найти производную функции . Чему равно значение ? Решение. Перепишем функцию в другом виде . По таблице производных находим: если , то . В рассматриваем случае . Отсюда при имеем . Пример 12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции: . Решение. . Отсюда видим, что производная равна нулю в точках , и не существует при . Функция определена только в точке . Так как в этой точке производная функции меняет знак с минуса на плюс, то это точка – точка минимума (экстремум). В промежутках и производная положительна, значит, функция возрастает; а в промежутке производная отрицательна, значит, функция убывает. в) Найдем производную второго порядка . Замечаем, вторая производная равна нулю в точке и не существует при . Эти точки разбивают всю числовую прямую на три области и . В первом и третьем промежутках вторая производная отрицательна, а во втором промежутке – положительна. Следовательно, в первом и третьем промежутках функция вогнута, а во втором промежутке функция выпукла. В точке функция определена, и вторая производная при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус, следовательно, точка есть точка перегиба. Пример 13. Вычислить интеграл: а) ; б) ; в) . Решение. а) Преобразуем подынтегральное выражение, воспользуемся свойством линейности интеграла: . Все полученные интегралы – табличные: . Поэтому . б) Преобразуем интеграл, используя прием введения под знак дифференциала . Полученные интегралы снова табличные. Применяя табличные формулы, получим +С. в) Заметим, что . Произведем замену переменной :
Вариант 1. 1. Даны матрицы: . Найти матрицу . 2. Вычислить определитель . 3. Решить систему уравнений методом Крамера: 4. Проверить, что векторы линейно независимы. Разложить вектор по векторам и . 5. Найти угол между векторами и в трехмерном пространстве. 6. Найти площадь треугольника , если . 7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках , . 8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и . 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . 10. Вычислить предел . 11. Найти производную функции . Чему равно значение ? 12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции: . 13. Вычислить интеграл: а) ; б) ; в) .
Вариант 2. 1. Даны матрицы: . Найти матрицу . 2. Вычислить определитель . 3. Решить систему уравнений методом Крамера: 4. Проверить, что векторы линейно независимы. Разложить вектор по векторам и . 5. Найти угол между векторами и в трехмерном пространстве. 6. Найти площадь треугольника , если . 7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках , . 8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и . 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . 10. Вычислить предел . 11. Найти производную функции . Чему равно значение ? 12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции: . 13. Вычислить интеграл: а) ; б) ; в) .
Вариант 3. 1. Даны матрицы: . Найти матрицу . 2. Вычислить определитель . 3. Решить систему уравнений методом Крамера: 4. Проверить, что векторы линейно независимы. Разложить вектор по векторам и . 5. Найти угол между векторами и в трехмерном пространстве. 6. Найти площадь треугольника , если . 7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках , . 8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и . 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . 10. Вычислить предел . 11. Найти производную функции . Чему равно значение ? 12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции: . 13. Вычислить интеграл: а) ; б) ; в) .
Вариант 4. 1. Даны матрицы: . Найти матрицу . 2. Вычислить определитель . 3. Решить систему уравнений методом Крамера: 4. Проверить, что векторы линейно независимы. Разложить вектор по векторам и . 5. Найти угол между векторами и в трехмерном пространстве. 6. Найти площадь треугольника , если . 7. Найти объем пирамиды, вершины которой находятся в точках , . 8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и . 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . 10. Вычислить предел . 11. Найти производную функции . Чему равно значение ? 12. Найти: а) промежутки возрастания и убывания; б) экстремумы функции; в) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба следующей функции: . 13. Вычислить интеграл: а) ; б) ; в) . Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|