Методические указания к решению типовых задач. Задача №1.1. Как изменится сила взаимодействия двух металлических заряженных шариков, если их привести в соприкосновение

Задача №1.1. Как изменится сила взаимодействия двух металлических заряженных шариков, если их привести в соприкосновение, а затем удалить на прежнее расстояние?

Указания по решению. В задаче требуется сравнить 2 силы взаимодействия заряженных тел в двух случаях. Обозначим их и . Величины этих сил зависят от величин зарядов шариков и от расстояния между ними (см. закон Кулона), а направления от совпадения или не совпадения знаков этих зарядов[1].

Возможны следующие случаи (см. таблицу 1):

Таблица 1

	Заряды шариков	Расстояние между шариками	Сила взаимодействия
	до соприкосновения	после соприкосновения	величина	направление
до соприкосновения	после соприкосновения	до соприкосновения	после соприкосновения
I случай	одноименные, равные и	одноименные, равные	не меняется			оттал-кивание	оттал-кивание
II случай	разноименные, равные и	одноименные, равные			притя-жение	оттал-кивание

Сравнение сил сводится к сравнению величин[2] и .

Завершите сравнение самостоятельно и дайте ответ к задаче.

Задача №1.2. В некоторой точке поля на заряд q действует сила F. Найдите напряженность поля в этой точке и определите заряд, создающий поле, если точка от него удалена на расстояние r.

Указания по решению. По определению напряженность электрического поля есть вектор

,

модуль которого равен

,

а направление совпадает с направлением силы, действующей на заряд, если заряд положителен, и противоположно направлению силы, если заряд отрицателен.

Считая, что поле создано точечным зарядом Q, получим

Þ .

Подумайте: зависит ли искомая величина заряда Q, создающего поле, от величины данного в задаче заряда q? Почему?

Задача №1.3. Два заряда q ₁и q ₂ расположены в керосине на расстоянии r друг от друга. Найдите, пользуясь определением, напряженность поля в середине отрезка, соединяющего центры зарядов.

Указания по решению. Представим, что в середине отрезка, соединяющего центры зарядов, находится положительный заряд q. На него будут действовать 2 кулоновские силы, со стороны зарядов q ₁и q ₂. Результирующая этих сил равна

.

Результирующая сила согласно закону Кулона будет направлена вдоль оси х, а ее проекция на эту ось будет равна

,

где e – диэлектрическая проницаемость керосина.

.

Направление вектора определяется знаком большего по модулю заряда.

Самостоятельно рассмотрите возможные случаи направления вектора напряженности в зависимости от значений и знаков данных зарядов q ₁и q ₂.

Задача №1.4. Металлический шар радиусом R =5 см заряжен до потенциала j =150 В. Чему равна напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии r =5 см от поверхности шара?

Имеем следующие формулы:

- для потенциала поля шара (сферы) в точке на расстоянии r от поверхности шара:

,

тогда при r =0 получаем потенциал шара (потенциал на поверхности шара одинаков во всех точках – свойство проводника);

- для величины напряженности

,

где R – радиус шара.

Выражая заряд шара через его потенциал и подставляя в формулу для напряженности, получим искомую величину:

.

Самостоятельно проведите вычисления и запишите ответ, указав единицы измерения.

Задача №1.5. Протон, движущийся со скоростью v ₀=100 км/с, влетает в электрическое поле с напряженностью Е =50 В/м в направлении, противоположном направлению силовых линий поля. Какую разность потенциалов пройдет протон до полной остановки? Через сколько микросекунд скорость протона станет равной нулю? Отношение заряда протона к его массе равно =10⁸ Кл/кг.

Указания по решению. Протон – частица, несущая положительный заряд. Со стороны электрического поля на нее действует сила в направлении силовых линий. В данном случае эта сила направлена противоположно скорости частицы, поэтому скорость протона будет уменьшаться по мере его движения в поле до нуля, а затем начнется движение в противоположном начальному направлении. В этом усматривается аналогия с движением тела, брошенного вверх в поле тяготения Земли. Электростатическое поле, как и гравитационное, потенциально: заряженная частица обладает в этом поле потенциальной энергией.

При движении протона в ЭСП на него не действуют непотенциальные силы, поэтому выполняется закон сохранения полной механической энергии. Отсюда следует, что в положениях 1 и 2 суммы кинетической и потенциальной энергии протона равны между собой:

,

Þ .

А искомая разность потенциалов равна

.

Знак «–» означает. что протон движется в сторону большего потенциала.

Рассмотренное выше рассуждение широко применяется при использовании понятия ускоряющей разности потенциалов.

Заметим, что физический смысл имеет не само значение потенциала, а разность потенциалов между двумя точками, что и отражено в приведенных выше рассуждениях. А значение потенциала в некоторой точке определяется, в соответствии с этим, лишь относительно другой точки, выбранной в качестве нулевой (значение потенциала в которой условно принимается равным нулю).

Для ответа на второй вопрос задачи рассмотрим равнозамедленное движение протона под действием электрической силы . По второму закону Ньютона для протона ускорение равно

.

Зависимость модуля скорости от времени при равнозамедленном движении имеет вид

,

тогда при . Подставляя выражение для ускорения, получаем искомое время:

.

Вычисления проведите самостоятельно и сделайте проверку размерностей.

Задача №1.6. При переносе точечного заряда q =10 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r =20 см от поверхности равномерно заряженного шара, необходимо совершить работу A =0,5 мкДж. Радиус шара R =4 см. Найдите потенциал j на поверхности шара и плотность распределения заряда. Потенциал на бесконечности принять равным нулю.

Указания по решению. Как уже отмечалось в задаче №1.4 поле равномерно заряженного шара описывается формулами поля точечного заряда, т.е. потенциал поля в точке на расстоянии r от поверхности шара радиусом R равен

,

где Q – заряд шара, равный в случае равномерного распределения заряда по объему шара с объемной плотностью

. (1.1)

С учетом (1.1) потенциал поля шара запишется в виде

.

Известно из механики, что работа потенциальной силы равна убыли потенциальной энергии [8, с. 89]. В данном случае потенциальной силой является сила, с которой электростатическое поле, созданное зарядом Q, действует на точечный заряд q. В условии задачи речь идет о работе внешних сил, по преодолению этой потенциальной силы. Поэтому работа внешних сил равна приращению потенциальной энергии точечного заряда q в поле заряда Q, т.е.

,

где потенциал на бесконечности принят равным нулю , а j - потенциал в точке на расстоянии r от поверхности шара. Отсюда, подставляя выражение для потенциала, можно выразить искомую плотность распределения заряда.

Потенциал на поверхности шара находится аналогично тому, как показано в задаче №1.4.

Завершите решение задачи самостоятельно (см. приложение 7).

Задача №1.7. ЭСП создается положительно заряженной с постоянной поверхностной плотностью s = 10 нКл/м² бесконечной плоскостью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r ₁=2 см до r ₂=1 см? [9,04×10^-19 Дж] (4, с. 128)

Указания по решению. Положительно заряженная бесконечная плоскость создает электрическое поле, линии напряженности которого указаны на рис. 4.

Электрон – отрицательно заряженная частица, поэтому в электрическом поле он будет двигаться против силовых линий (что соответствует притяжению разноименных зарядов). Поэтому при перемещении электрона вдоль силовой линии с большего на меньшее расстояние от плоскости работа внешних сил будет отрицательной и численно равной изменению потенциальной энергии электрона в электрическом поле плоскости:

.

Разность потенциалов между двумя точками поля бесконечной плоскости равна (см. приложение 3)

,

подставляем и получаем выражение для искомой величины:

,

где е – элементарный заряд (см. приложение 4).

Произведите вычисления самостоятельно и сравните ответ.

Задача №1.8. Два заряда – q и 9 q находятся на расстоянии d друг от друга. Со стороны отрицательного заряда по линии, проходящей через эти заряды, движется по направлению к ним заряд q. Какой минимальной кинетической энергией он должен обладать на бесконечности, чтобы попасть в точку, где находится отрицательный заряд?

Указания по решению. На движущийся заряд q со стороны двух неподвижных зарядов – q и 9 q действуют две кулоновские силы и : со стороны отрицательного заряда – сила притяжения , а со стороны положительного – сила отталкивания . т.е. эти силы противоположно направлены. Определим направление результирующей силы. Для этого сравним величины сил, определяемые законом Кулона:

и

.

Из равенства

найдем точку, в которой результирующая сила равна нулю. Получаем:

,

,

,

отсюда

.

Это расстояние на рис. 5 помечено точкой О. До точки О на движущийся заряд действует результирующая сила отталкивания, а после результирующая сила становится силой притяжения. Следовательно, достаточно этому заряду достичь точки О, чтобы он далее попал в место нахождения отрицательного заряда.

.

где - потенциал электрического поля в точке О, созданного двумя зарядами – q и 9 q.

Для завершения решения этой задачи необходимо применение принципа суперпозиции электрических полей, который рассматривается в теме следующего практического занятия.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: