Теоретические положения. Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается

Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается. Закон, по которому происходят колебания, зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Линейными системами являются, к примеру, пружинный маятник при малых деформациях пружины, колебательный контур индуктивность, ёмкость и сопротивление которого не зависит ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид

,

(8.1)

где S – колеблющаяся величина, d = const – коэффициент затухания, w₀ – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы при отсутствии потерь энергии (при d = 0) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (8.1) можно представить в виде

,

(8.2)

где

,	(8.3)
,	(8.4)

А – амплитуда затухающих колебаний, A ₀ – начальная амплитуда.

На рис. 38 показана зависимость (8.2) свободных затухающих колебаний сплошной линией, а (8.4) амплитуду затухающих колебаний – штриховыми линиями. Из уравнения (8.3) следует, что система будет совершать колебания с частотой w.

Рис. 38. График затухающих колебаний

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими, ввиду того, что затухание нарушает периодичность колебаний. Однако если затухание мало и выполняется условие , то можно условно использовать понятия периода и частоты затухающих колебаний. Период затухающих колебаний T (см. рис. 38) равен времени между двумя последующими максимумами колеблющейся величины. При малых затуханиях можно считать, что период колебаний остаётся постоянным.

Период затухающих колебаний

.

При увеличении коэффициента затухания d период затухающих колебаний T и при d = w₀ обращается в бесконечность. Это означает, что при d ³ w₀ движение системы не будет колебательным. Такие процессы называются апериодическими.

Если и – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

– логарифмическим декрементом затухания.

Важной характеристикой колебательной системы является добротность Q – безразмерная величина, равная произведению 2p на отношение энергии W (t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + T, то есть за один период колебания:

.

Так как энергия W (t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний A (t), то

.

При малых значениях логарифмического декремента затухания (d << 1) и добротность колебательной системы

,

(8.5)

(T принято равным T ₀, так как затухание невелико ().

Рис. 39. Колебательный контур

Рассмотрим колебательный контур – цепь, состоящую из последовательно соединённых катушки индуктивности L, конденсатора ёмкостью С и резистора сопротивлением R (рис. 39). Если конденсатор зарядить, сообщив его обкладкам заряд и замкнуть цепь, то в контуре начнут совершаться электрические колебания, заключающиеся в периодической перезарядке конденсатора. При этом энергия электрического поля конденсатора будет переходить в энергию магнитного поля катушки и наоборот, а по цепи будет течь переменный по величине и направлению ток I.

Электрические колебания в контуре будут затухающими ввиду того, что сумма энергий конденсатора и катушки будет непрерывно уменьшаться за счёт её преобразования в теплоту, выделяющуюся на резисторе.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: