ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
III.1. Три группы формул для вычисления энтропии.
Энтропию называют «тенью» внутренней энергии и она, также как U, является функцией состояния. Таким образом, dS – полный дифференциал энтропии. Энтропию, как функцию состояния, для термодеформационной системы можно выразить через любое из трех сочетаний термодинамических параметров T, V, P: S=S(T, V), S=S(T,P) и S=S(P,V) и получить три группы равнозначных формул. · Получим первую группу формул для расчета энтропии. Пусть S = S(T,V), Как было получено ранее (88) тогда Здесь - третий тип дифференциальных соотношений термодинамики , тогда окончательно (104) Формула (104) применима как для реальных, так и для и идеальных газов. Для идеального газа эта формула имеет более простой вид. Получим эту формулу. Для идеального газа известно (77): Подставим (77) в (104) и окончательно получим: (105) Формула (105) применима только для идеального газа. Найдем неопределенный интеграл S из (105) . Полагаем Здесь - средняя массовая изохорная теплоёмкость или (106)
Здесь, где - показатель адиабаты. Попутно рассмотрим адиабатный обратимый процесс, то есть процесс при S=const Так как в (106) S0 и константы, то для выполнения условия S=const должно выполняться условие Это уравнение называется уравнением адиабаты идеального газа или уравнением Пуассона. Для практики наибольший интерес представляет не абсолютное значение S, а её изменение dS. Найдем определенный интеграл энтропии по формуле (105): Пусть тогда (107) Из (107) можно получить два частных случая: (108)
(109) Здесь S имеет размерность Энтропия – это мера неупорядоченности системы (чем больше энтропия, тем больше беспорядок). При S = 0 должно отсутствовать не только макроскопическое, но и микроскопическое движение частиц, поэтому энтропия может быть равна нулю только при абсолютном нуле температур. Но по 3-ему закону термодинамики (следствию тепловой теоремы Нернста) при T®0, S®0 абсолютный нуль температур недостижим. В инженерной практике, начало отсчета энтропии может быть выбрано произвольно. Условились, за начало отсчёта энтропии принимать нормальные физические условия (н.ф.у.): pн=101325 Па, Tн=273.15 K. Таким образом, при н.ф.у S=0. При этом уравнение (107) примет вид Индекс 2 опускаем, тогда окончательно энтропию можно вычислить по следующей формуле (110) Здесь vн – удельный объём при нормальных физических условиях. Из pнvн=RTн, Здесь µ - молекулярная масса газа. Как известно, по закону Авогадро 1 Кмоль любого газа при одинаковых условиях занимает один и тот же объём, в частности при нормальных физических условиях 1 Кмоль любого газа занимает объём, равный 22,4 м3. Во всех вышеприведённых формулах массовая изохорная теплоёмкость cv бралась средним значением . Получим формулы для случая линейной зависимости теплоёмкости от температуры cv=c0v+aT Подставим это в (105) Окончательно (111) Из (111) следуют два частных случая (Т=const и V=const) (формула (108))
(112) Принимая S=0 при нормальных физических условиях, получим формулы для расчёта энтропии: (113)
· Получим вторую группу формул для расчёта энтропии. Пусть S=S(T,P) (114) Формула (114) справедлива для любого газа и любого процесса В качестве частного случая рассмотрим идеальный газ: Для идеального газа из (78) Подставим (78) в (114) (115) Найдем неопределенный интеграл S по формуле (115) (116) где S0 – константа интегрирования Пусть , тогда , Выразим отношение через теплоемкости Тогда (117) Попутно рассмотрим адиабатный процесс, полагая его обратимым. Тогда уравнение адиабатного процесса запишется в виде S=const Так как в уравнение (117) при условии S=const правая часть также должна быть константой, то при ср=const и S0=const должно выполняться условие (118) Уравнение (118) называется уравнением адиабаты идеального газа или уравнением Пуассона. Вернемся к (115) и найдем определенный интеграл энтропии: (119) Эта формула применима для любого процесса идеального газа. Из (119) следуют два частных случая: (120)
(121) Если взять за начало отсчёта S нормальные физические условия, то из (119) получим зависимость для расчета энтропии: (122) Получим формулы второй группы для случая, когда изобарная теплоемкость линейно-зависит от температуры (ср=с0р+аТ). Подставим ср в (115) и найдем определенный интеграл: (123) Эта формула применима для любого процесса идеального газа. Из (123) следует два частных случая:
(формула (120))
(124) Полагая за начало отчета S н.ф.у получим формулу для расчета энтропии идеального газа в любом процессе (125)
· Получим третью группу формул: Пусть S = S(p,v), Здесь частные производные заменены произведением частных производных. (126) Формула (126) справедлива для всех процессов как реального так и для идеального газов. В качестве частного случая рассмотрим идеальный газ: Как известно, для идеального газа , , Подставим эти значения частных производных в (126) и получим формулу, справедливую для всех процессов идеального газа: (127) Попутно рассмотрим обратимый адиабатный процесс (S=const) и найдем определенный интеграл (127): . Полагаем и Тогда В адиабатном процессе S=const и правая часть этого уравнения также является константой, если (128) Уравнение (128) называется уравнением адиабаты идеального газа или уравнением Пуассона. Окончательно, адиабатные процессы идеального газа описываются тремя равнозначными уравнениями Пуассона. ; ; (129) .
Вернемся к формуле (115) и возьмём определённый интеграл энтропии: (130) Из (130) следуют два частных случая: (формула (121)) (формула (109)) Принимая за начало отсчёта S нормальные физические условия, из (130) получим формулу: (131) где - удельный объем идеального газа при н.ф.у. Получим формулы для случая линейной зависимости теплоёмкостей от температуры: cv=c0v+aT и cp=c0p+aT, где c0v, c0p, а – постоянные величины. (132) Найдём значение из уравнения Менделеева-Клапейрона после его логарифмирования и дифференцирования: Подставим это выражение в (132) (133) Интегрируя (133) получим: (134) Из (134) следует три частных случая: (135) (136) Преобразуем эту формулу: или (формула (120)) Полагая S=0 при нормальных физических условиях, из (134) получим формулу для расчета значения энтропии идеального газа в любом процессе (137) Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|