Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

До сих пор мы не учитывали существование внешнего силового поля (например, гравитационного). В отсутствии поля молекулы газа равномерно распределяются по всему объему, т.е. плотность газа в объеме постоянна. Если действует силовое поле, то плотность частиц и давление газа будет функцией координаты точки f(x,y,z).

Получим закон изменения давления с высотой, при условии, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова.

Рассмотрим цилиндр сечением 1м², перпендикулярный поверхности Земли (рис.1.5.1). Разность давлений двух слоев, находящихся на различной высоте, равна весу газа между ними

.

На основании соотношения p=nkT исключаем n и получаем дифференциальное уравнение

.

Для решения этого уравнения интегрируем левую и правую части

,

или

Это выражение называется барометрической формулой. Так как высота обозначается относительно уровня моря, где давление обозначим р₀, то это выражение может быть записано в виде

, (1.5.2)

где р - давление на высоте h.

Если вернуться к соотношению p=nkT, то можно получить распределение концентрации молекул газа по высоте

. (1.5.3)

Барометрическая формула имеет простой физический смысл: молекул меньше там, где больше их потенциальная энергия. Увеличение потенциальной энергии молекулы в поле тяготения на величину mgh связано с работой сил поля

A=mgh.

Теперь можно определить потенциальную энергию молекулы, имеющей массу m и поднятую на высоту h

U(h)=mgh.

Тогда формула (1.5.2) примет вид . Этот вариант можно обобщить на случай, когда потенциальная энергия зависит не от одной, а от всех трех координат U(x,y,z):

(1.5.4)

Это один из вариантов распределения Больцмана для идеального газа во внешнем поле.

Аналогичную формулу имеем для концентрации молекул

(1.5.5)

Функция, характеризующая среднее число молекул, находящихся в данном состоянии, называют статистическим распределением.

При рассмотрении системы из множества частиц мы предполагаем, что частицы по каким-либо признакам отличаются друг от друга. Если две частицы поменяли местами, то такие состояния рассматриваются как различные.

Модель различных частиц называют моделью Максвелла-Больцмана, а полученную при этом статистику - статистикой Максвелла-Больцманан.

Пример8. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура воздуха 290°К, g=9,8 м/с², R=8,3×10³Дж×кмоль×к^-1, m=29 кг/кмоль, p/p₀=1/2.

Решение. Из барометрической формулы следует

или т.е. , из полученного соотношения имеем

поскольку k=R/N_A и m=m/N_A, получаем - искомая высота.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: