Примеры решения задач. Пример 1. У светофора трактор, движущийся равномерно со скоростью 18 км/ч, обогнал автомобиль, который из состояния покоя начал двигаться с ускорением а=1,25

Пример 1. У светофора трактор, движущийся равномерно со скоростью 18 км/ч, обогнал автомобиль, который из состояния покоя начал двигаться с ускорением а=1,25 м/с². Определить: 1)на каком расстоянии от светофора автомобиль обгонит трактор; 2)скорость автомобиля при обгоне.

Решение.1. В начальной момент t=0 скорость автомобиля равна нулю, а скорость трактора ύ_т=18 км/ч. так как автомобиль движется равноускоренно, пройденный им путь выражается формулой

(1)

где а - ускорение автомобиля; t – время.

Если t – время, за которое автомобиль догонит трактор, то s – расстояние от светофора до места, где произойдет обгон.

За время t такой же путь s пройдет трактор, движущийся равномерно,

т. е.

S=ύ_тt, (2)

где ύ_т – скорость трактора.

Приравнивая правые части (1),(2). получаем

at²/2=ύ_тt, (3)

откуда

t=2ύ_t/a (3^/)

Путь s, пройденный автомобилем от светофора до места обгона, получим по формуле (1), подставив вместо t выражение (3^/):

(4)

Проверим формулу (4):

Выразим в СИ скорость трактора:

Вычислим искомое расстояние от светофора до места обгона:

2.Скорость автомобиля, движущегося равноускоренно, выражается формулой ύ=аt. При подстановке в нее выражения (3^/ ) получим

Вычислим искомую скорость автомобиля:

ύ=2 5,0 м/с=10 м/с.

Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой m₁=250г (рис. 1). Тело массой m₂=400г подвешено на нити, перекинутой через блок и привязанной к телу m₁. Пренебрегая массой блока и трением, определить: 1)силу натяжения нити; 2)ускорение тел.

Решение.1. на тело массой m₂действуют сила тяжести Р₂=m₂g и сила натяжения Т нити.

рис.1.

Силы, направление которых совпадает с направлением ускорения, будем считать положительными. А силы, направление которых противоположно направлению ускорения, - отрицательными. Запишем второй закон Ньютона для тела массой m₂:

m₂g -T=m₂a, (1)

где а – ускорение тела; g – ускорение свободного падения.

На тело массой m₁ действуют сила тяжести Р₁=m₁g сила натяжения Т нити и сила реакции N стола. Силы N и P ₁ равны по модулю и противоположно направлены поэтому их равнодействующая равна нулю. Вследствие этого отсутствует вертикальное перемещение тела.

Второй закон Ньютона в скалярном виде для тела массой m₁ имеет вид

Т=m ₁ a (2)

Чтобы найти ускорение, подставим (2) в (1): m ₂ g-m ₁ a-m ₂ a, или m ₂ g=(m ₁ +m ₂ )a, откуда

a=m ₂ g/(m ₁ +m ₂ ). (3)

Выразим массу тел m ₁и m ₂ в единицах СИ: m₁=0,25 кг и m₂=0,40 кг.

Вычислим ускорение а по формуле (3):

2.силу натяжения нити найдем, подставив полученный результат в уравнение (2):

Т= =1,51 Н.

Пример3. Тело массой m=1 кг вращается на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения равна п =2с^-1 длина стрежня R =1,25 см. Определить силу натяжения стержня: 1)в верхней и 2)в нижней точках.

Решение 1. На тело в верхней точке действуют сила тяжести Р = mg и сила натяжения Т стержня (рис.2). В результате действия двух сил тело движется по окружности, т. е. с центростремительным ускорением

(1)

где ω – угловая скорость; R – радиус траектории. Учитывая, что ω=2πn, можем записать

, (2)

Направление сил Т ₁ и Р совпадает с вектором , поэтому второй закон Ньютона запишем в скалярном виде:

Т ₁+ mg=m , (3)

или с учетом (2)

Т ₁+ mg=4mπ ² п ² R, (4)

Откуда

Т ₁=m(4π² п ² R - g). (5)

Выразим в СИ числовые значения R и g: R= 0,125 м, g= 9,81м/с².

Вычислим по формуле (5) искомую силу натяжения стержня в верхней точке траектории:

Т₁= 1(4·3,14²·2²·0,125-9,81)Н=9,93 Н.

2.В нижней точке траектории на тело действуют (рис. 3) те же силы Р=mg и Т₂. Однако сила Р в данном случае направлена противоположно вектору а _ц.с в связи с этим второй закон Ньютона имеет вид

откуда Т₂=m(g+4π ² п ² R).

После подстановки имеем

Т ₂ = 1(9,81+4·3,14²·2²·0,125)Н=29,55 Н.

Пример 4. Подъемный кран за время t =6ч поднимает строительные материалы массой m= 3000т на высоту h =15м. Определить мощность двигателя подъемного крана, если его коэффициент полезного действия =0,8.

Решение. Подъемный кран. Поднимая груз на высоту h, увеличивает его потенциальную энергию. Работа А, совершаемая двигателем подъемного крана, идет на подъем груза и на работу против сил трения в механизмах. Полезная работа двигателя равна увеличению потенциальной энергии груза:

=mgh,

где g – ускорение свободного падения.

Коэффициент полезного действия равен отношению полезной мощности ко всей потребляемой мощности N:

ή= /N. (1)

Учитывая, что = /t=mgh/t, запишем выражение (1) в виде

ή= mgh /(Nt).

Мощность двигателя равна

N=mgh /(ήt). (2)

Проверим формулу (2):

Выпишем в СИ числовые значения величин, входящих в (2):

m= 3·10⁶кг, g =9,8 м/с², t =2,16·10⁴c.

Вычислим искомую мощность двигателя:

Пример 5. Тело массой m=200г прикреплено к нити и вращается по

окружности радиусом R₁=80 см с постоянной линейной скоростью ύ₁=150 см/с. при вращении нить укорачивается на длину l =30 см. Определить: 1) установившуюся скорость вращения; 2) частоту вращения.

Решение.1. При равномерном вращении тела уменьшение длины нити создается силой F, направленной вдоль радиуса R ₁. Плечо R этой силы равно нулю; следовательно, момент силы M=FR также равен нулю. Вращение тела, свободного от действия моментов сил, подчиняется закону сохранения момента импульса:

Ј_{1 1}=Ј_{2 2}, (1)

где Ј₁ и ω₁ – момент инерции и угловая скорость тела в начальный момент времени; Ј₂ и ω₂ – то же, в конечный момент времени.

Следовательно, начальный момент импульса Ј₁ω₁ равен моменту импульса Ј₂ω₂ тела после укорачивания нити. Считая, что тело представляет собой материальную точку, определим его момент инерции:

Ј=mR ², (2)

где R – радиус окружности, по которой вращается тело.

Угловую скорость выразим через линейную:

ω = ύ /R (3)

Для начального момента времени по формулам (2) и (3) получим

Ј ₁= m , ω₁=ύ₁/R₁. (4)

После укорачивания нити

Ј ₂= m , ω₂= / R ₂. (5)

Подставляя в (1) выражения (4) и (5), получаем

После преобразований с учетом того, что R₂=R₁-l, окончательно имеем

ύ₁R₁ = ύ₂ (R₁- l), откуда

(6)

ύ₂ =ύ₁R₁ / (R₁- l).

Проверим расчетную формулу (6):

Выразим числовые значения величин в СИ: ύ₁=1,50 м/с, R ₁=0,80 м, l =0,30 м.

Вычислим искомую конечную скорость:

2.Для определения частоты вращения п ₂ после укорачивания нити воспользуемся формулами ω₂=ύ₂/ R ₂=ύ₂/(R ₁ -l) и ω₂=2π п ₂. Приравнивая их правые части, получаем 2π п ₂ =ύ₂(R ₁ -l), откуда

(7)

Проверим формулу (7):

Вычислим искомую конечную частоту вращения:

Пример 6. Диск, катившийся со скоростью ύ₁ = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью ύ₂ =2 м/с. Масса диска равна m = 3 кг. Определить уменьшение кинетической энергии диска.

Решение. Кинетическая энергия диска равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

Е= (1)

здесь = m ύ²/2; = Ј ω²/2, где m – масса диска; ύ – скорость поступательного движения; Ј = mR ²/2 –момент инерции диска; ω = ύ/ R – угловая скорость диска; R – радиус окружности диска.

Подставив в (1) выражения для , , Ј и ω, получим

(2)

Выражение (2) можно использовать для записи полной кинетической энергии Е ₁ до удара о стену и полной кинетической энергии Е ₂ после взаимодействия со стеной:

Разность кинетических энергий

Подставив данные задачи, вычислим искомую разность энергий:

Знак минус показывает, что произошло уменьшение кинетической энергии диска.

Пример 7. Точка совершает гармонические колебания согласно уравнению . Определить скорость и ускорение точки через ¹/₆ с от начала колебаний.

Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:

х=А sin ωt, (1)

где х – смещение точки; А – амплитуда; ω – круговая частота; t – время.

По определению, скорость равна производной от смещения по времени:

(2)

Подставив (1) в (2), продифференцируем полученное выражение:

(3)

По определению, ускорение равно производной от скорости по времени:

(4)

Подставив (3)в (4), продифференцируем полученное выражение:

(5)

Из сравнения уравнения и формулы (1) видно, что А =0,1 м, ω=πс^-1. По формулам (3) и (5) вычислим скорость и ускорение:

(6)

Проверим формулы (6):

вычислим искомые скорость и ускорение точки:

ύ=0,1·3,14 cos(π/6) м/с=0,272 м/с,

а =-0,1·3,14² sin(π/6) м/с²=-0,492 м/с².

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: