Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Линии параболического типа




Пусть КВП задана уравнением вида (1) и является кривой

параболического типа, т.е. I2=О. Тогда I1 О. Действительно,

если I111+a22=О, то I12112222+2a11a22=О, т.е.

 

(*)

 

Так как I2=a11a22—а122=О, то из (*) следует, что -(a112/2) -(а222/2)=а122.. Значит, a11=a22=a12=0 – противоречие с тем, что уравнение (1) — уравнение кривой второго порядка.

Заметим, что если в уравнении (1) а12 О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (14)

 

Так как I1=а'1122 О, I2=a'11а'22=О, то один из коэффициентов a'11 и а'22 равен нулю, а другой не равен нулю.

Будем считать, что а'11=О, а'22 0 (случай а'11 О, a'22=0

рассматривается аналогично). Тогда I1=a'22 и уравнение (14)

можно записать так:

 

(25)

 

Осуществим теперь параллельный перенос:

 

, т.е.

. (26)

Тогда x"=x' и у"=у'+а'23/I1. Значит, в новой системе координат

О"Х"У" уравнение КВП примет вид:

 

(27)

 

где

 

Теорема. Пусть уравнение (1) — есть уравнение параболического типа. Тогда при I3 0 это уравнение параболы, а при I3=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.

 

Доказательство. Итак, для уравнения (1)

 

(28)

Так как I1 О, то при I3 0 следует, что а"13 О, а при I3=0 получаем, что а"13=О. Тогда уравнение (27) можно записать так

при I3 О, (29)

 

при I3=О, (30)

Очевидно, что уравнение (29) — уравнение параболы. Чтобы

оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":

 

y"=Y;

 

и обозначить – а "13/I1=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение

У2 = 2рХ.

 

Уравнение (30) можно записать так:

 

(31)

 

Тогда, если a"33/I1<0, то из (31) получаем

 

 

– пара параллельных прямых: и

Если же а"33/I1>0, то уравнению (31) не удовлетворяют

координаты ни одной точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных