ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

ВОПРОСЫ

2 курс (010200.62), 3 семестр, 2012/13 уч.год

1. Непрерывные, гладкие, регулярные и бирегулярные кривые. Локальное свойство регулярной кривой. Касательная и соприкасающаяся плоскость кривой.

2. Неявное задание кривых. Достаточное условие регулярности кривой, заданной в неявном виде.

3. Эквивалентные параметризации кривой. Определение и свойства натуральной параметризации кривой.

4. Кривизна и кручение кривой: определение, геометрический смысл, свойства.

5. Репер и формулы Френе.

6. Формулы для вычисления кривизны и кручения.

7. Определение и способы задания поверхностей в R ³. Локальное свойство регулярной поверхности.

8. Достаточное условие регулярности поверхности, заданной в неявном виде.

9. Касательная плоскость и касательное пространство в точке поверхности. Координаты касательного вектора относительно локальной системы координат.

10.Первая квадратичная форма поверхности.

11.Приложения первой квадратичной формы для вычисления длины кривой, угла между кривыми, площади области поверхности.

12.Изометрические и конформные отображения поверхностей. Стереографическая проекция.

13.Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна кривой. Теорема Менье.

14.Индикатрисса Дюпена. Главные направления и кривизны.

15.Теорема о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду.

16.Теорема Эйлера о нормальной кривизне кривой и ее следствие.

17.Формулы для вычисления главных направлений и кривизн поверхности.

18.Полная и средняя кривизны поверхности. Классификация точек поверхности.

19.Сферическое отображение поверхности. Теорема Гаусса.

20.Формулы Гаусса, Петерсона-Кодацци. Теорема Бине.

21.Теорема Гаусса об инвариантности полной кривизны.

22.Геодезическая кривизна кривой на поверхности. Геодезические.

23.Топологические пространства, открытые и замкнутые множества. Топология метрических пространств.

24.Внутренние точки и точки прикосновения. Замыкание и внутренность множества.

25.Индуцированная топология. Топологические подпространства.

26.Непрерывные отображения топологических пространств.

27.Свойства непрерывных отображений.

28. Гомеоморфизмы топологических пространств.

29.Компактные пространства и множества: определение, примеры, основные свойства.

30.Теоремы о связи компактности и замкнутости множеств.

31.Критерий компактности в R ⁿ.

32.Теоремы о непрерывных отображениях компактных пространств.

33.Связность, линейная связность пространств и множеств: определения и примеры.

34.Основные свойства связных и линейно связных множеств.

35.Теорема о линейной связности открытого связного подмножества в R ⁿ.

36.База топологии: определение, примеры, свойства, критерий.

37.Произведение топологических пространств.

38.Фактортопология, факторпространства. Классические топологические пространства.

39.Топологические многообразия. Классификация замкнутых двумерных многообразий. Род и эйлерова характеристика.

40.Гладкие многообразия. Дифференциальные структуры и дифференцируемые функции на гладком многообразии.

41.Множество решений системы уравнений как гладкое многообразие. Теорема Уитни.

42.Касательное пространство многообразия. Понятие о римановых многообразиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990.

2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. - М.: Изд-во МГУ, 1990.

3. Тайманов И. А. Лекции по дифференциальной геометрии. — Ижевск: РХД, 2006.

4. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.

5. Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. М.: Высшая школа, 1979.

6. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии.М.:Мир, 1983.

7. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Лань, 2010.

8. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М. 1980.

9. Топология / Под ред. А. С. Феденко. Минск: Вышэйшая школа, 1990.

10. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. А.С. Феденко. М., 1979.

11. Лесниченко Н.В., Тен О.К. Задачи по топологии. Краснодар. 2008.

12. Мищенко А.С, Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М., 2004.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: