Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






2 страница. Если на векторах построить треугольную пирамиду, то ее объем Vпир составит 1/6 от объема параллелепипеда Vпар




Если на векторах построить треугольную пирамиду, то ее объем Vпир составит 1/6 от объема параллелепипеда Vпар, построенного на тех же векторах:

(почему?). Итак,

.

Эти формулы используют для решения задач.

Попутно отметим геометрический смысл определителя 2-го порядка . Его модуль равен площади S параллелограмма, построенного на векторах-строках { x 1, y 1} и { x 2, y 2} на плоскости.

 

 

(Это можно показать, например так: пусть – соответствующие векторы в пространстве.)

Тогда

.

Поскольку , то модуль определителя совпадает с , т.е. с площадью параллелограмма, построенного на векторах и .

Вообще, определитель порядка n можно представить себе как ± объем n -мерного параллелепипеда, построенного на строках (столбцах) определителя.

В заключение покажем как понятие смешанного произведения можно использовать для вывода правила Крамера при .

Систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными запишем в векторной форме:

или

, (*)

где – столбцы матрицы А системы.

Умножая уравнение (*) на скалярно, получаем

или

(поясните!), откуда

(продолжите вывод).

 

 

Тема: Аналитическая геометрия в пространстве

 

1. Плоскость в пространстве

Пусть в пространстве имеется прямоугольная декартова система координат OXYZ (правая).

 

Рассмотрим плоскость P, проходящую через точку M 0(x 0, y 0, z 0) перпендикулярно вектору , который называется нормалью к плоскости P. Предположим, что , т.е. . Пусть
M (x, y, z) – произвольная точка плоскости.

Вектор лежит в плоскости. Следовательно,

.

Используя скалярное произведение, это условие можно записать так:

.

Отсюда

(1)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точку (x 0, y 0, z 0) с нормалью . Раскрывая скобки и обозначая свободный член через D, получаем уравнение

. (2)

Имеет место

Теорема. Уравнение (2) с условием

(3)

определяет плоскость в пространстве (причем, { A, B, C } – ее нормаль, т.е. вектор, ортогональный плоскости). Обратно, всякая плоскость в пространстве может быть задана соответствующим уравнением (2) с условием (3).

При решении задач, связанных с расположением плоскостей в пространстве, следует утверждения, касающиеся плоскостей, сводить к утверждениям, касающимся их нормалей.

Например: даны плоскости

,

.

Ясно что

. (4)

Мы получили условие перпендикулярности двух плоскостей.

Вопрос: как написать условие параллельности двух плоскостей?

2. Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны плоскость

и точка M *(x *, y *, z *).

Расстояние от М* до Р есть длина перпендикуляра, опущенного из М* на Р. Можно показать (попробуйте!), что она вычисляется по формуле:

. (5)

Отметим, что в знаменателе стоит длина нормали .

Если точка М* принадлежит плоскости, то числитель равен нулю и тогда .

 

 

3. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

Даны три точки в пространстве:

M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2), M 3(x 3, y 3, z 3).

 

 

Пусть Р – плоскость, проходящая через М 1, М 2, М 3. Возьмем произвольную точку M (x, y, z) в плоскости Р. Тогда векторы компланарны. Значит, их смешанное произведение равно нулю. В координатной форме это выглядит так:

. (6)

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

 

 

4. Канонические уравнения прямой в пространстве

Рассмотрим прямую L в пространстве, проходящую через точку M 0(x 0, y 0, z 0) параллельно вектору { l, m, n }, который называют направляющим.

 

Пусть M (x, y, z) – произвольная точка на прямой. Тогда

.

Условие коллинеарности векторов и состоит в пропорциональности их координат:

. (7)

Это и есть канонические уравнения прямой в пространстве. Отметим, что уравнений два (третье – вытекает из первых двух). Это – система линейных уравнений специального вида, связывающих переменные x, y и z.

Данные уравнения не вызывают вопросов, если все компоненты l, m, n направляющего вектора отличны от нуля. Однако может случиться, что какая-то из компонент есть ноль, что в этой записи допускается. Например,

.

Эту запись следует понимать как систему:

т.е., если знаменатель – ноль, то и числитель – ноль.

Ну, а запись

следует понимать так:

что есть прямая, параллельная оси Z и проходящая через точку .

Здесь .

Произвольная точка прямой имеет вид: (1,1, z).

5. Параметрические уравнения прямой в пространстве

Отношения в канонических уравнениях (7) положим равными произвольной величине (параметру) t, которую будем трактовать как время:

,

откуда

(8)

При любом t соотношения (8) определяют точку (x, y, z) на прямой, проходящей через точку M 0(x 0, y 0, z 0) с направляющим вектором . Они называются параметрическими уравнениями прямой. Их можно трактовать как уравнения равномерного движения точки (x, y, z) по указанной прямой, причем, l, m, n есть проекции скорости на координатные оси X, Y, Z соответственно.

При мы имеем «начальное положение» (x 0, y 0, z 0).

 

 

6. Прямая как пересечение двух плоскостей

Рассмотрим систему

(9)

Каждое уравнение определяет плоскость с нормалью

и ,

соответственно.

Предполагается, что и отличны от нуля:

. (10)

Пусть, кроме того, и не коллинеарны, т.е. неверно, что

(11)

(хотя бы одно из этих равенств не выполнено).

Это можно сказать и так: хотя бы один из трех определителей

(11¢)

отличен от нуля (если например, первый определитель не ноль: , то , т.е. нет пропорциональности).

Тогда плоскости пересекаются по прямой. Таким образом, в этом случае (при выполненных условиях (10) и (11) ~(11¢)) система (9) определяет прямую в пространстве.

Возникает вопрос: как от системы (9) перейти к каноническим (а тогда и к параметрическим) уравнениям? Опишем процедуру в общем виде.

Во-первых, надо определить какую-нибудь точку M 0, через которую прямая проходит (таких точек – бесконечное множество). Если, например,

,

то в системе (9) полагаем и получаем систему

с ненулевым определителем.

Она, как мы знаем, имеет единственное решение (x 0, y 0), которое может быть найдено, например, по правилу Крамера. Таким образом, получаем, точку M 0(x 0, y 0, 0) , лежащую на прямой.

Остается определить направляющий вектор . Поскольку прямая лежит в каждой из плоскостей, то она перпендикулярна каждой из нормалей. Это же верно и для направляющего вектора:

.

Следовательно, в качестве можно взять вектор, равный векторному произведению , которое ортогонально и . Итак, можно положить

.

Теперь мы можем записать канонические уравнения (7) и параметрические уравнения (8).

Лекция 4.

Тема: Аналитическая геометрия на плоскости

 

До сих пор мы рассматривали векторы, прямые и плоскости в пространстве. Сейчас мы перейдем к рассмотрению векторов, прямых и кривых на плоскости. Разумеется, вместо трех координат x, y, z мы будем использовать две: х и y, – соответствующих какой-либо фиксированной декартовой прямоугольной системе XOY.

 

 

При переходе из пространства на плоскость многие понятия сохраняются, но некоторые пропадают.

Мы по-прежнему будем пользоваться понятиями «вектор», «сумма векторов», «произведение вектора на число», «модуль вектора», «скалярное произведение». Например, если

,

то

,

,

но мы уже не можем использовать понятия «векторное произведение», «смешанное произведение» (почему?).

Имеются аналогии между некоторыми геометрическими понятиями на плоскости и в пространстве.

 

 

1. Прямая на плоскости

Здесь имеется аналогия с плоскостью в пространстве:

.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

, (1)

где

. (2)

Под словами «общее» подразумевается возможность задать любую прямую на плоскости с помощью некоторого уравнения вида (1) с условием (2). Верно и обратное: любое уравнение (1) с условием (2) определяет прямую на плоскости.

Вектор перпендикулярен прямой и называется нормалью к прямой.

Расстояние от точки M (x*, y*) до прямой вычисляется по формуле

.

В знаменателе стоит длина вектора нормали . Эта формула аналогична формуле расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Напомним уравнение прямой с угловым коэффициентом:

. (3)

Смысл k и b отмечен на картинке:

 

 

называется углом наклона прямой, угловым коэффициентом. При положительном k имеем возрастающую линейную функцию (причем, чем больше k, тем быстрее рост), при – убывающую.

Если в уравнении (1) , то от общего уравнения (1) прямой можно перейти к уравнению с угловым коэффициентом. При , т.е. когда прямая параллельна оси OY, это невозможно. Последнее связано с тем обстоятельством, что уравнения с угловым коэффициентом описывают все прямые, кроме вертикальных, т.е. параллельных оси OY.

Если задать угловой коэффициент k и точку M 0(x 0, y 0), через которую прямая проходит, то прямая однозначно определяется этими данными и задается уравнением

.

Прямая, проходящая через точки M 1(x 1, y 1) и M 2(x 2, y 2), задается уравнением

.

Пусть даны две прямые

,

.

Условие их параллельности состоит в равенстве угловых коэффициентов .

Условие их перпендикулярности имеет вид:

.

Вообще угол j между прямыми

 

 

определяется из условия:

.

 

 

2. Кривые второго порядка на плоскости.

Мы уже знаем, что алгебраическое уравнение 1-го порядка (1) с условием (2) задает прямую на плоскости. Теперь мы рассмотрим алгебраическое уравнение второго порядка, содержащее помимо первых степеней x и y также вторые степени:

, (3)

причем, не все коэффициенты A, B, C равны нулю. (Двойки при B, D, E стоят для удобства, что будет ясно из дальнейшего.)

Это уравнение определяет кривую второго порядка: эллипс, гиперболу или параболу (из них первая – ограничена, а две других – нет). В некоторых случаях (3) может определять пару прямых, прямую или точку (приведите примеры). Наконец, возможно, что (3) определяет пустое множество.

Рассмотрим простейшие (так называемые, канонические) уравнения, определяющие эллипс, гиперболу и параболу.

3. Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение

, (4)

где определяет эллипс и называется каноническим уравнением эллипса.

 

a, b – полуоси эллипса.

Если , то bмалая полуось, абольшая. Координатные оси служат осями симметрии. Начало координат О(0,0) – центр симметрии.

Всякий эллипс при подходящем выборе системы координат может быть задан с помощью канонического уравнения (4).

При эллипс превращается в окружность.

Фокусы имеют координаты (– с, 0) и (с, 0), где определяется из условия

.

Эксцентриситет – это величина

.

Для эллипса .

Чем ближе к единице, тем в большей степени эллипс вытянут вдоль оси OX. При имеем: , т.е. эллипс представляет собой окружность.

Точки (– а, 0), (а, 0), (0,– b), (0, b) принадлежат эллипсу и называются его вершинами.

 

 

4. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение

определяет гиперболу и называется ее каноническим уравнением. Здесь полуоси гиперболы, причем, адействительная, а bмнимая полуось.

Фокусы имеют координаты (– c, 0) и (с, 0), где с находится из условия

.

Прямые

и

называются асимптотами гиперболы.

Для гиперболы эксцентриситет

.

 

 

Оси координат служат осями симметрии, а начало координат О(0,0) – центром симметрии.

Итак, запомним, что эллипс и гипербола имеют центр симметрии.

Точки (а,0) и (– а,0) принадлежат гиперболе и называются ее вершинами.

В школе вы привыкли, что гипербола является графиком функции , т.е. определяется уравнением . Здесь нет никакого противоречия с тем, что было сказано выше. Если повернуть оси координат на угол , то уравнение , перейдет в каноническое уравнение гиперболы. Об этом – чуть позже.

Отметим, что всякая гипербола при подходящем выборе системы координат может быть задана каноническим уравнением.

5. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение

,

где определяет параболу и называется ее каноническим уравнением.

Фокус параболы есть точка F (p /2,0), а уравнение директрисы имеет вид:

,

pпараметр параболы.

Парабола симметрична относительно оси OX. Вершина параболы находится в начале координат.

 

 

Подчеркнем, что парабола имеет лишь одну ось симметрии, но не имеет центра симметрии (в отличие от эллипса и гиперболы).

Если в каноническом уравнении поменять местами x и y (или сделать поворот осей на угол ), то оно перейдет в уравнение

,

которое определяет параболу с осью симметрии OY. Последнюю можно записать в виде

(где ), к которому вы привыкли в школе.

Всякая парабола может быть задана в каноническом виде при подходящем выборе системы координат.

Лекция 5.

Тема: О приведении общего уравнения 2-го порядка
к каноническому виду

 

1. Общее уравнение 2-го порядка, типы линий

Напомним, что это уравнение имеет вид

, (1)

где

. (2)

(если (2) не выполнено, то все A, B, C равны нулю, и тогда мы имеем уравнение не выше первого порядка).

Здесь функция двух переменных

называется квадратичной формой, а матрица

называется матрицей квадратичной формы. (Она симметрична, т.к. совпадают коэффициенты, симметрично расположенные относительно главной диагонали).

Ее коэффициенты A и С, стоящие на главной диагонали – это коэффициенты при «квадратах»: при x 2 и y 2 соответственно.

Смешанный член 2 Bxy можно записать так

,

так что B есть коэффициент как при xy, так и при yx, поэтому он занимает 2 места на побочной диагонали.

Определитель этой матрицы есть величина

.

Оказывается, знак этого определителя, а также знаки коэффициентов A и С при квадратах играют решающую роль при выяснении вопроса о типе кривой, заданной общим уравнением (1).

Далее отметим, что функция двух переменных

называется линейной формой. Значит, и – линейная форма.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных