Нормальное распределение

Нормальное распределение плотности вероятности характерно тем, что, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, такое распределение имеет суммабесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями.

Применительно к измерениям это означает, что нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим.

Практически, суммарное воздействие даже сравнительно небольшого числа возмущений приводит к закону распределения результатов и погрешностей измерений, близкому к нормальному.

где х - случайная величина, m_х - математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое отклонение.

Перенеся начало координат в центр распределения m_х и откладывая по оси абсцисс погрешность Δх = х - m_х, получим кривую нормального распределения погрешностей

Кривая нормального распределения погрешностей симметрична относительно оси ординат.

Это означает, что погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, имеют одинаковую плотность вероятностей, т.е. при большом числе наблюдений встречаются одинаково часто.

Математическое ожидание случайной погрешности равно нулю.

Из характера кривой следует, что при нормальном законе распределения малые погрешности будут встречаться чаще, чем большие.

Сравнивая кривые нормального распределения с различными средними квадратическими отклонениями, можно убедиться, что чем меньше СКО, тем меньше рассеяние результатов наблюдений и тем больше вероятность того, что большинство случайных погрешностей в них будет мало.

Естественно заключить, что качество измерений тем выше, чем меньше СКО случайных погрешностей.

Равномерное распределение. Если случайная величина х принимает значения лишь в пределах некоторого интервала от х₁ до х₂ с постоянной плотностью вероятностей (см. рисунок), то такое распределение называется равномерным и описывается соотношениями

f(x) = c, при x₁ ≤ x ≤ x₂;

f(x) = 0, при x < x₁ и x > x₂.

	f(x)
		c

Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице, то

c(x₂ - x₁) = 1

и

c = 1/(x₂ - x₁). (1)

С учётом (1), плотность распределения

f(x) = 1/(x₂ - x₁), при x₁ ≤ x ≤ x₂;

f(x) = 0, при x < x₁, x > x₂.

Математическое ожидание величины х

Варианты оценки случайных погрешностей

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться:

- предельная погрешность,

- интервальная оценка,

- числовые характеристики закона распределения.

Выбор конкретной оценки определяется

- необходимой полнотой сведений о погрешности,

- назначением измерений и

- характером использования их результатов.

Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами.

Предельная погрешность Δ_m - погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться.

Теоретически, такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение ±Δ_m, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).

На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины.

Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей.

При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.

Более универсальными и информативными являются квантильные оценки.

Абсциссы вертикальных линий, делящих площадь под всей кривой плотности распределения погрешностей на части, называются квантилями.

Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от -Δх(Р) до +Δх(Р), на котором с заданной вероятностью Р встречаются Р·100% всех возможных значений случайной погрешности.

Интервал с границами ±Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность - доверительной вероятностью.

Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности, могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности доверительными границами необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности (например, ±0,3 В при Р = 0,98).

Доверительные границы случайной погрешности Δх(Р), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле

Δх(Р) = tσ,

где t - коэффициент, зависящий от Р и формы закона распределения.

Например, для нормального распределения погрешностей оценка случайной погрешности группы наблюдений интервалом ±1σ соответствует доверительной вероятности 0,68.

Такая оценка не даёт уверенности в высоком качестве измерений, поскольку 32% от всего числа наблюдений может выйти за пределы указанного интервала, что совершенно неприемлемо при однократных измерениях и дезинформирует потребителя измерительной информации.

Доверительному интервалу ±3σ соответствует Р = 0,997. Это означает, что практически, с вероятностью очень близкой к единице, ни одно из возможных значений погрешности при нормальном законе её распределения не выйдет за границы интервала.

Поэтому при нормальном распределении погрешностей принято считать случайную погрешность с границами ±3σ предельной (максимально возможной) погрешностью. Погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.

В целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95.

Недостатком оценивания случайной погрешности доверительным интервалом при произвольно выбираемых доверительных вероятностях является невозможность суммирования нескольких погрешностей, так как доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов.

Однако существует необходимость в суммировании случайных погрешностей, когда нужно оценить результирующую погрешность суммированием её составляющих, подчиняющихся к тому же разным законам распределения.

или

То есть, для того, чтобы отдельные составляющие случайной погрешности можно было суммировать расчётным путём, они должны быть представлены своими СКО, а не предельными или доверительными границами.

Последняя формула правомерна только для некоррелированных случайных величин. В том случае, когда суммируемые составляющие погрешности коррелированы, расчётные соотношения усложняются, так как требуется учёт корреляционных связей.

Методы выявления корреляционных связей и их учёт являются предметом изучения теории вероятностей.

Рассмотренные свойства распределений следует понимать как "идеальные", полученные на основе бесконечно большого числа опытов.

В реальных условиях результат измерения получают либо обработкой ограниченной группы наблюдений, либо на основе однократного измерения.

Правила обработки данных для получения оценок результата и погрешности статистических измерений определены стандартами Государственной системы обеспечения единства измерений.

Тема 1.8. Международные рекомендации по оцениванию неопределённости результата измерения

1.8.1. Неопределённость измерений

Когда все составляющие погрешно­сти результата измерения оценены и внесены соответствующие поправ­ки, всё ещё остается сомнение в том, насколько близок результат изме­рения к истинному значению измеряемой величины.

В сложившейся мет­рологической практике количественной мерой этого сомнения, принято использовать понятие "погрешность измерения".

В Российской Федера­ции приёмы оценивания погрешности результата измерения регламен­тированы нормативно-техни-ческими документами Госстандарта.

До сравнительно недавнего времени представления о погрешностях измерений, их систе­матических и случайных составляющих, были едины и принципиальных возражений у метрологов различных стран не вызывали.

Тем не менее регулярно поступали предложения по изменению, совершенствованию этих представлений, которые обосновывались "несоответствием принципов оценивания погрешностей современным практическим задачам ".

В 1978 г., декларируя отсутствие международного единства в вопро­сах оценивания качества результатов измерений, Международному ко­митету мер и весов сообществом метрологов было поручено разработать согласованные рекомендации по этому вопросу, основанные на нетра­диционных подходах к оцениванию погрешности.

Работа по созданию рекомендаций завершилась выпуском в 1986 г. "Руководства по выра­жению неопределенности измерения". Основные положения "Руко­водства" заключаются в следующем:

1) понятие "погрешность измерения" заменено понятием "неопре­деленность измерения";

2) введены понятия неопределенности типа А и типа В;

3) количественно неопределенности типа А и В и результата измерения оцениваются посредством "стандартного отклонения" (среднего квадратического отклонения).

Понятие "неопределенность измерений" определяется как " пара­метр, связанный с результатом измерения, который характеризует дис­персию значений, которые могут быть обоснованно приписаны изме­ряемой величине".

Для оценивания различных составляющих неопределённости могут быть использованы различные исходные данные.

Некоторые из состав­ляющих оцениваютсяиз статистического распределения результатов рядов наблюдений и характеризуются экспериментальными средними квадратическими отклонениями.

Другие составляющие, которые также могут характеризоваться средними квадратическими отклонениями, оцениваются из предполагаемых распределений вероятностей, основан­ных на опыте экспериментатора или другой информации.

Неопределён­ность, оцениваемая статистическим анализом ряда наблюдений, называют неопределенностью типа А.

Неопределенность, оцениваемая любыми иными способами, чем статистический анализ рядов наблюде­ний, называют неопределённостью типа В.