Зв’язність топологічних просторів.

Лінійна зв’язність. Гомеоморфізм

Варіант 1

1. Навести приклад двох зв’язних множин, перетин яких не буде зв’язною множиною.

2. Навести приклад, який підтверджує, що прообраз зв’язної множини при неперервному відображенні не обов’язково буде зв’язним.

3. Нехай – графік функції . Довести, що множина ² – зв’язна, але не лінійно зв’язна.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфні «букви» і на площині.

Варіант 2

1. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що містить тільки одну раціональну координату.

2. Визначити, чи буде локально зв’язною підмножина точок числової прямої.

3. Нехай і – топологічні простори. Довести, що і тоді і тільки тоді зв’язні, коли топологічний простір – зв’язний.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфні «букви» і на площині.

Варіант 3

1. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що мають хоча б одну раціональну координату.

2. Нехай та . Довести, що – лінійно зв’язна множина, а – зв’язна, але не лінійно зв’язна

3. Довести, що зв’язність топологічного простору є те саме, що: будь-яка неперервна функція задовольняє властивостям Дарбу, тобто разом з будь-якими двома своїми значеннями приймає і всі проміжні значення.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними ² і ² .

Варіант 4

1. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, що має точно дві раціональні координати.

2. Визначити, чи буде локально зв’язною множина всіх цілих чисел у топології, яка індукована з ¹.

3. Довести, що якщо множина – зв’язна, то будь-яка множина така, що , також буде зв’язною.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними кулі в ² та коло в ².

Варіант 5

1. Довести, що топологічний простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли існує власна підмножина цього простору така, що .

2. Навести опис усіх зв’язних підмножин множини дійсних чисел, що наділені топологією скінченних доповнень.

3. Нехай – шлях, що з’єднує точку множини з точкою, що належить . Довести, що , тобто шлях перетинає межу множини .

4. Довести, що відкритий інтервал не гомеоморфний ніякому напіввідкритому і ніякому замкненому інтервалу.

Варіант 6

1. Довести, що простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли його можна неперервно сюр’єктивно відобразити в гаусдорфів простір, який складається з двох точок.

2. Визначити, чи буде локально зв’язною множина всіх раціональних чисел з топологією, яка індукована з ¹.

3. Нехай – підмножина лінійно зв’язного топологічного простору. Довести, що якщо – лінійно зв’язна, то і також лінійно зв’язна множина.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними коло в ² та кругове кільце в ².

Варіант 7

1. Визначити, чи буде образ незв’язного простору при неперервному відображенні незв’язним.

2. Визначити, чи буде зв’язною множина точок площини, у яких хоча б одна з координат ірраціональна.

3. Нехай – підмножина зв’язного топологічного простору. Довести, що якщо – зв’язна, то і – зв’язна.

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними простори і ²

Варіант 8

1. З’ясувати, чи буде зв’язною множина точок усіх кіл на площині з радіусом (де – раціональне число) та центром на початку координат.

2. Довести, що топологічний добуток – лінійно зв’язний тоді і тільки тоді, коли простори і лінійно зв’язні.

3. Нехай – зв’язна підмножина топологічного простору . Довести, що якщо , , , то .

4. З’ясувати, чи будуть гомеоморфними множини точок поверхні двовимірного тору в ³ та множина точок сфери в ³.

Варіант 9

1. Нехай на множині задані топологічні структури і та . З’ясувати, чи випливає із зв’язності зв’язність простору . А навпаки?

2. Нехай множини і зв’язні та . Довести, що – зв’язна множина.

3. Довести, що простір незв’язний тоді і тільки тоді, коли існує неперервна сюр’єкція ( – коло одиничного радіуса з центром в 0 простору ¹ ).

4. Визначити, чи будуть гомеоморфними інтервал в та коло в ².

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: