Перпендикулярність у просторі. Проекція прямої. Двогранний кут

Пряма а, що лежить у площині α, поділяє цю площину навпіл на півплощини і називається границею напівплощин.

Пряма а називається перпендикулярною площини α, якщо вона перпендикулярна будь-якій прямій, що належить площині а.

Теорема 1 (ознака перпендикулярності прямій і площині). Пряма а перпендикулярна площини α, якщо вона перпендикулярна двом пересічним прямим, що лежать у площині а (рис. 51).

Рис. 51

Двогранним кутом називається область простору, обмежена двома на півплощинами, що мають загальну границю, яка називається ребром двогранного кута (рис. 52). Якщо пряма а ₁, що лежить у площині α, перпендикулярна ребру а і пряма b ₁, що лежить у площині β, перпендикулярна ребру а, то кут між прямими a ₁ і b ₁ називається лінійним кутом двогранного кута.

Рис. 52

Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, що проходить через ребро двогранного кута і поділяє його на два рівних двогранних кути (рис. 52).

Властивість точок бісекторної площини. Кожна точка бісекторної площини рівновіддалена від граней двогранного кута. Зворотна властивість: якщо точка рівновіддалена від граней двогранного кута, то вона належить його бісекторній площини.

При перетинанні двох площин утвориться чотири двогранних кути. Якщо лінійний кут одного з цих двогранних кутів прямий, то ці площини називаються перпендикулярними.

Теорема 2 (ознака перпендикулярності площин). Якщо пряма а, перпендикулярна площині α, належить площині β, то площини α і β перпендикулярні (рис. 53).

Рис. 53

Перпендикулярною проекцією точки А на площину α називається підстава перпендикуляра, опущеного з точки А на площину α.

Проекцією фігури на площину α називається множина точок площини α, що є проекціями всіх точок проекційної фігури. Проекцією прямої на площину є також пряма (чи, в окремому випадку, точка). Якщо пряма а перетинає площину α в точці А, то проекція прямої також проходить через точку А.

Якщо пряма а паралельна площині α, то її проекція буде Паралельна а.

Властивості, проектування:

1) Якщо прямі а і b Паралельні, те їхні проекції Паралельні або, в окремих випадках, є однією прямою або ж двома точками.

2) Якщо точка С поділяє відрізок АВ у співвідношенні m: n (рис. 54), те при проектуванні точка розділить відрізок в тому ж відношенні, тобто

Рис. 54

Теорема 3 (про три перпендикуляри). Якщо похила l перпендикулярна деякій прямій р площини α, то її проекція також перпендикулярна прямій р (рис. 55).

Рис. 55

Зворотна теорема. Якщо проекція похилої l перпендикулярна прямій р, то її проекція також перпендикулярна прямій р.

Нехай висота піраміди ABCD, опущена з вершини D, проходить через точку перетину висот Δ АВС (ортоцентр трикутника). Можна довести, що протилежні ребра піраміди попарно перпендикулярна і будь-яка інша висота піраміди також проходить через ортоцентр протилежної грані (рис. 56).

Рис. 56

Кутом між прямою l і площиною α називається кут між прямою α і її проекцією на площину α (кут φ на рис. 55).

Можна довести, що якщо всі бічні ребра піраміди ABCD нахилені до площини основ АВС під рівними кутами, то висота DO проходить через центр O описаної біля Δ АВС кола.

Рис. 57

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: