Главная | Случайная
Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Этапы научного исследования




Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Схематично этапы его исследования представлены на рис.1. Для изучения Явления строится его физическая модель. Известно, что в мире все взаимосвязано, и каждый объект, каждое явление имеют бесконечное количество связей с окружающим миром. Человеческий разум не может охватить все бесконечное множество этих связей, и при изучении Явления приходится ограничиваться конечным множеством связей, наиболее существенных с точки зрения конкретного исследования. Определение и описание этих связей и составляют Физическую модель явления. Примерами физических моделей служат абсолютно твердое тело, несжимаемая жидкость, идеальный газ и т.д. После построения Физической модели Явления строят его Математическую модель, т.е. описывают физическую модель на языке математики. Чаще всего Математической моделью являются дифференциальные уравнения с некоторыми дополнительными условиями, т.е. математическая задача. После того, как математическая задача поставлена, следует выбрать или разработать Метод ее решения. Исходя из метода, составляется Алгоритм решения задачи, который конкретизируется в виде компьютерной Программы. Программа отлаживается, тестируется на модельных примерах (модельный пример – это математическая модель упрощенного варианта изучаемого Явления, результат расчета для модельного примера известен заранее, используется для контроля правильности программы). После того, как программа тщательно отлажена и протестирована, наступает этап Вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент – это массовые многопараметрические расчеты по составленной программы с целью изучения Явления и выяснения границ применимости рассматриваемых моделей. В результате Анализа результатов вычислительного эксперимента может быть пересмотрен любой из предшествующих этапов научного исследования.

 

 

 


Рис.1

В ряде областей применения вычислительный эксперимент становится одним из средств научно-технического исследования и прогнозирования. Под вычислительным экспериментом понимают исследование свойств объекта посредством решения на ЭВМ задач, представляющих собой математическую модель объекта. Многократное проигрывание моделей для различных исходных данных позволяет понять роль и значение различных факторов для течения того или иного процесса или поведения объекта и дает возможность правильно планировать и проводить натурный (физический) эксперимент. Вычислительный эксперимент не может полностью заменить натурный эксперимент, но сильно удешевляет исследование, позволяет лучше подготовить натурный эксперимент, выявить новые теоретико-технические свойства исследуемого объекта, сократить сроки и объем натурных испытаний, сделать их более безопасными для людей и окружающей среды. Для вычислительного эксперимента необходимы математические модели исследуемых объектов или явлений, машинные методы решения соответствующих математических задач и вычислительные машины, на которых вычислительный эксперимент реализуется.

Таким образом, выделяют следующие этапы современного научного исследования:

- описание изучаемого объекта или явления;

- построение его физической модели (выявление конечного числа существенных для целей исследования связей); примерами физических моделей являются идеальный газ, несжимаемая жидкость, абсолютно твердое тело;

- построение математической модели (постановка математической задачи, описывающей физическую модель); чаще всего это краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения или уравнения в частных производных;

- разработка или выбор метода решения поставленной на предыдущем этапе математической задачи. Этот метод, как правило, является численным;

- разработка алгоритма;

- составление программы, ее отладка и тестирование;

- вычислительный эксперимент;

- анализ результатов. В зависимости от выводов этого анализа возможен пересмотр результатов любого из перечисленных этапов.

 

Л2.Основные понятия теории погрешностей.Общая формула вычисления погрешности

Приближенным называется число, незначительно отличающееся от точного и заменяющее последнее в вычислениях. Пусть A – точное, а a – приближенное значения числа. Абсолютная погрешность приближенного числа Δa определяется как абсолютная величина разности между точным и приближенным значениями:

.

Относительная погрешность δa характеризует качество измерений и определяется следующим образом:

.

Так как определения абсолютной и относительной погрешностей содержат точное значение числа, которое обычно неизвестно, то используются предельные абсолютная h и относительная ε погрешности, которые определяются следующим образом: . На практике значения h и ε стараются подобрать по возможности меньшими. Так, если приближенное значение получено в результате измерения, то h определяется точностью прибора, а величину предельной относительной погрешности вычисляют по формуле . К основным понятиям теории погрешности относятся также понятия значащих цифр и верных знаков.

Значащие цифры. Известно, что каждое число A>0 может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

(1)

где αi – цифры числа A, причем старшая цифра αm≠0.

Каждая единица, стоящая на определенном месте в числе A, написанном в виде десятичной дроби (1), имеет свое значение. Единица, стоящая на первом месте, имеет значение 10m, на втором - 10m-1 и т.д.

На практике приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби

 

 

Все сохраняемые десятичные знаки αi (i=m, m-1,…,m-n+1) называются значащими цифрами приближенного числа a. При позиционном изображении числа иногда приходится вводить лишние (незначащие) нули в начале или конце числа

 

0.007010

не знач.

 

или 2003000000.

Определение. Значащей цифрой приближенного числа a называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда.

Верные знаки. Определение. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа a являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо,

т.е. если , то первые n цифр αi (i=m, m-1,…,m-n+1) являются верными. Остальные цифры приближенного числа называются сомнительными.

Теорема. Если положительное приближенное число a имеет n верных десятичных знаков, то относительная погрешность δ этого числа не превосходит , деленную на первую значащую цифру этого числа, т.е.

.

Доказательство.

Запишем число a в виде

Пусть число a является приближенным значением точного числа A и содержит n верных десятичных знаков. Тогда согласно определению

.

Отсюда . Это неравенство усилится, если a заменим на меньшее значение :

(2)

Правая часть неравенства (2) принимает свое наименьшее значение при n=1. Поэтому

.

Так как . Относительная погрешность

Отсюда следует, что предельную относительную погрешность можно положить равной

.

 

vikidalka.ru - 2015-2017 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных