Л3…Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приближенно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и способы оценки их точности.

Пусть дано уравнение , (1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале . В дальнейшем может потребоваться существование и непрерывность первой или даже второй производной функции f(x), что будет оговорено специально.

Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что f(ξ) =0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x). Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая другие корни.

Решить уравнение (1) численными методами – это значит определить, имеет ли оно корни, сколько их и найти корни с заранее заданной точностью.

Нахождение корней состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление (по возможности малых) промежутков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1);

2) уточнение приближенных корней, т.е. определение их с заданной точностью.

Для отделения корней полезна известная теорема из математического анализа.

Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [ a,b ], т.е. f(a)f(b) <0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения (1).

Если при этом f(x) имеет первую производную, не меняющую знака на [ a,b ] ()>0 или <0 – строго монотонная функция), то корень уравнения единственный. Вообще, если на концах отрезка [ a,b ] функция f(x) принимает значения разных знаков, то между точками a и b имеется нечетное число корней, а если знаки одинаковые – то четное число корней уравнения (1), учитывая их кратность.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: