Включение катушки на постоянное напряжение

Согласно второму закону Кирхгофа по схеме (рис.1.2) можно записать уравнение для послекоммутационной цепи:

iR + u_L = E, (1.1)

где u_L = L di / dt.

С учетом последнего можно записать

. (1.2)

Это есть дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью, т.е. неоднородное. Решение этого уравнения – зависимость тока от времени – i (t). Оно записывается в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения:

i = i’ + i’’. (1.3)

С точки зрения электротехники частное решение есть принужденная составляющая, общее решение – свободная составляющая. Принужденная составляющая i_пр – та составляющая тока, которая установится после окончания переходного процесса и полностью определяется источником и параметрами цепи. Свободная составляющая i_св связана с изменением запасов энергии в цепи (или их средних значений при переменном токе). Разделение на составляющие – искусственный прием, на самом деле в ветви протекает один суммарный ток

i = i_пр + i_св. (1.4)

В данном случае принужденная составляющая определяется источником и активным сопротивлением: i_пр = Е /R. Индуктивность на эту составляющую не влияет, так как его сопротивление постоянному току равно нулю. Свободная составляющая записывается в виде:

i_св = Ae^{a t}. (1.6)

Окончательно решение дифференциального уравнения запишется в виде:

i = E /R + Ae^{a t}, (1.7)

где А – постоянная интегрирования, подлежащая определению;

a – корень характеристического уравнения.

Как известно из математики, характеристическое уравнение получается из дифференциального путем замены производной какой либо буквой (например, a) в соответствующей степени. В данном случае:

La + R = 0; и a = – R / L.

Постоянная интегрирования определяется с учетом начального условия. Само начальное условие определяется на основе закона коммутации. Так как до коммутации цепь была разомкнута, то ток через индуктивность был равен нулю. Поэтому в первый момент после коммутации, т.е. при t = 0 ток так же был равен нулю. Тогда:

0 = Е / R + A^{a 0}. (1.8)

Откуда A = – E / R. С учетом этого получаем закон изменения тока через индуктивность:

. (1.9)

Это экспоненциальный закон. Напряжение на индуктивности определяется через закон электромагнитной индукции:

. (1.10)

Величина, обратная корню характеристического уравнения и взятая с положительным знаком, называется постоянной времени. Эта величина имеет размерность времени и обозначается буквой τ. Она зависит только от параметров цепи и определяет скорость протекания переходного процесса.

Изобразим переходный процесс графически. Зададимся значениями времени t, кратными постоянной времени: t = τ, 2τ, 3τ, 4 τ. Тогда величина (1- е ^{- t/τ}) будет иметь значения 0,63, 0,86, 0,95, 0,98 соответственно. Графики изменения тока и на пряжения на индуктивности изображены на рис. 1.3. Ток в индуктивности начинает изменяться со своего нулевого значения до установившегося. Из графика видно, что практически через (3…4)τ переходный процесс заканчивается. Напряжение на индуктивности претерпевает скачок от нуля до напряжения источника питания, и затем спадает до нуля по экспоненциальному закону.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: