Методы стохастического факторного анализа. Кореляционно-регрессионный анализ взаимосвязи между показателями

Стохастический анализ – это методика исследования факторов, связь которых с результативным показателем является вероятностной (корреляционной). При этом результативный признак (зависимая переменная) испытывает влияние не только рассматриваемых зависимых факторов, но и подвергается влиянию случайных (неконтролируемых) факторов. Причем полный перечень факторов не известен, так же, как и точный механизм их воздействия на результативный признак. Если при функциональной зависимости с изменением аргумента (фактора) происходит соответствующее изменение функции (результативного показателя), т. е. детерминированная зависимость проявляется в каждом случае, то при стохастической – изменение аргумента может повлечь за собой несколько значений функции. Таким образом, стохастическая связь проявляется не в каждом конкретном случае, а в среднем при большом числе наблюдений. Исходные данные при таком факторном анализе заданы выборкой, а результаты получают с некоторой вероятностью (надежностью), которую следует оценить.

Примером прямого стохастического факторного анализа служит:

– оценка влияния на товарооборот рациональности размещения торговой сети;

– оценка влияния на товарооборот покупательской способности населения (спроса, моды и т. д.);

– оценка зависимости динамики выручки от продажи товаров (или производительности труда) от изменения расходов на оплату труда;

– оценка зависимости товарооборота от расходов на рекламу и т. д.

Примером обратного стохастического факторного анализа служит комплексная оценка качества торгового обслуживания.

Задачи детерминированного факторного анализа (ДФА) нашли широкое применение в практике аналитической работы, однако детерминированный подход не позволяет учитывать влияние на результативный показатель очень многих факторов, не находящихся с ним в пропорциональной зависимости (спрос, текучесть кадров, размещение торговой сети и т. д.). Кроме того, в задачах ДФА невозможно выделить результаты одновременно действующих факторов. Эти недостатки обусловили необходимость применения стохастического моделирования в экономическом анализе, называемого иначе математико-статистическими методами изучения связей, которые являются в определенной степени дополнением и углублением ДФА.

Таким образом, в экономическом анализе стохастические модели используются в тех случаях, когда необходимо:

– оценить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную модель;

– изучить и сравнить влияние факторов, которые нельзя включить в одну и ту же детерминированную модель;

– выделить и оценить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним определенным количественным показателем.

В отличие от детерминированного, стохастический подход для своей реализации требует выполнения следующего ряда предпосылок:

1. Качественной однородности совокупности, т. е. в пределах варьирования значений факторов не должно происходить качественного скачка в характере отражаемого явления.

2. Достаточной численности совокупности наблюдения, позволяющей с точностью и надежностью выявить имеющиеся закономерности (в теории статистики считается, что количество наблюдений должно в 6-8 раз превышать количество факторов).

3. Наличия методов, т. е. специального математического аппарата, позволяющего выявить тесноту связи между изучаемыми показателями и оценить величину влияния факторов на изменение результативного показателя.

В целом, стохастическое моделирование предназначено для решения трех задач:

1) установления факта наличия или отсутствия связи между изучаемыми признаками;

2) выявления причинных связей между изучаемыми показателями и количественное измерение действия факторов на результативный показатель;

3) прогнозирования неизвестных значений результативных показателей.

Проведение стохастического моделирования осуществляется по следующим этапам:

1) качественный анализ, подразумевающий постановку цели анализа, определение результативных и факторных признаков, отбор и отсев факторов;

2) количественный анализ, т. е. построение регрессионной модели (уравнения регрессии) и расчет параметров уравнений регрессии;

3) проверка адекватности модели, т. е. оценка точности (надежности) уравнения связи и правомерности его использования для практической цели.

Практическая реализация указанных этапов основывается на применении корреляционного и регрессионного методов анализа.

Явления общественной жизни формируются под влиянием многочисленных и взаимосвязанных факторов, количественное выражение которых можно установить на основе качественного анализа при выявлении функциональной (полной) или корреляционной (неполной) связи.

При функциональной зависимости изменение результативного признака у всецело обусловлено действием факторного признака х, т.е. у = f(x).

При корреляционной зависимости изменение результативного признака у не полностью обусловлено влиянием факторного признака х, а лишь частично. Это происходит из-за того, что возможно влияние на результативность признаков и других факторов e: у = j(х)+ e.

Изучение связи между признаками методом корреляции используется в тех случаях, когда невозможно устранить посторонние факторы, либо потому, что эти факторы не известны, либо из-за невозможности их изоляции.

Различают следующие виды корреляционной связи.

В зависимости от количества взаимодействующих признаков: однофакторные – имеют место, когда исследуется связь между одним признаком-следствием у и одним признаком–фактором х (у = 5х наблюдается парная корреляция) и многофакторные связи–имеют место, когда исследуется влияние многих взаимодействующих между признаков-факторов на признак-следствие.

В зависимости от направленности корреляции связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением признака-результата (у = 5/ х). Относительно своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными (прямолинейные и криволинейные). В первом случае между признаками проявляются линейные соотношения. Это происходит тогда, когда с увеличением значения признака–фактора происходит возрастание или уменьшение величины признака –следствия.

По силе взаимодействия корреляционные связи могут быть слабыми и сильными.

Корреляция – зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

В связи с этим при изучении корреляционных связей ставится задача установления количественных оценок степеней тесноты связи между признаками, а также установлением характера и направления этой зависимости.

Для решения этой задачи применяются две группы методов, включающие в себя методы корреляционного анализа и регрессионного анализа.

Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).

В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных у_i от выравненных у_xi.

Корреляционный метод позволяет количественно выразить взаимосвязь между показателями. При этом, если показатель зависит от одного фактора, то речь идет о парной корреляции, если же от множества факторов – то о множественной корреляции. Основная особенность корреляционного анализа состоит в том, что он устанавливает лишь факт наличия связи и степень ее тесноты, не вскрывая причины.

Задача корреляционного анализа – выявить тесноту связи изучаемых признаков, что осуществляется либо с помощью коэффициента корреляции (при прямолинейной зависимости), либо с помощью корреляционного отношения (при линейной и нелинейной зависимости).

Коэффициент корреляции (парный коэффициент корреляции, линейный коэффициент корреляции) между фактором х и результативным показателем Y определяется следующим образом:

где y – абсолютное значение результативного показателя;

x – абсолютное значение фактора;

n – количество наблюдений.

Коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1. При этом если:

Если r = -1, то это означает наличие функциональной связи обратно-пропорционального характера;

Если r = +1, то это означает наличие функциональной связи прямо-пропорционального характера (и в этом и в другом случае переходят к детерминированному факторному анализу);

Если r = 0, то это означает отсутствие связи между фактором и изучаемым результативным показателем (фактор исключается из факторной системы).

Другие значения r свидетельствуют о наличии стохастической зависимости, причем чем больше стремится к 1, тем связь теснее. В частности:

< 0,3 означает слабую связь;

0,3 < < 0,7 – связь средней тесноты;

> 0,7 – связь тесная, т.е. имеется объективная возможность перейти к стохастическому факторному анализу.

При парной корреляции теснота связи изучается между результативным признаком и фактором.

В случае множественной корреляции тесноту связи между результативным показателем и набором факторов изучают на основе коэффициента множественной корреляции (R):

,

где – среднее значение результативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии;

– среднее значение результативного показателя, вычисленное по исходным данным.

Коэффициент множественной корреляции принимает только положительные значения в пределах от 0 до 1. При значении R ≤ 0,3 говорят о малой зависимости между величинами, при значении 0,3 < R < 0,6 – о средней тесноте связи, при R > 0,6 – о наличии существенной связи.

При множественной корреляции теснота связи изучается:

– между результативным признаком (функцией) и каждой переменной (аргументом);

– между переменными попарно.

Альтернативным показателем степени зависимости между двумя переменными является коэффициент детерминации, представляющий собой возведение в квадрат коэффициента корреляции (r² или R² – величина достоверности аппроксимации). Коэффициент детерминации, значение которого должно стремиться к 1, показывает, чему равна доля влияния изучаемого (изучаемых) фактора (факторов) на результативный показатель. При этом следует помнить, что при условии, если r ² (или R ²) < 0,5, синтезированные математические модели связи практического значения не имеют.

Практическая реализация корреляционного анализа включает следующие последовательные этапы:

1) постановка задач и выбор признаков;

2) формирование массива исходной статистической информации, определение степени ее однородности (на основе коэффициента вариации);

3) предварительная характеристика взаимосвязи (аналитические группировки, графики);

4) устранение мультиколлинеарности (взаимозависимости факторов), уточнение набора факторов (отбор наиболее существенных) на основе коэффициента корреляции, индекса детерминации или критерия Стьюдента. При этом в ходе отбора факторов следует придерживаться следующих правил:

– учитывать причинно-следственные связи между показателями (не рекомендуется включать в модель взаимосвязанные факторы: если парный коэффициент корреляции между двумя факторами больше 0,85, то один из них необходимо исключить).

– отбирать самые значимые факторы;

– рассматривать только те факторы, которые должны быть количественно измеримы, т. е. имеют единицу измерения и находить отражение в учете и отчетности;

– учитывать только однонаправленные факторы (т. е. при линейном характере зависимости нельзя включать в модель факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер);

После осуществления всех вышеуказанных процедур в случае установления факта высокой тесноты связи (> 0,7) приступают к решению второй задачи – регрессионному анализу, который позволяет выявить конкретные величины влияния факторов на изменение результативного показателя.

Регрессионный анализ – это метод установления аналитического выражения (т.е. уравнения регрессии) стохастической зависимости между исследуемыми признаками.

Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется результативный признак (Y) при изменении любой из переменных (Х _i) и имеет вид:

Y = f (x₁,x_2,…x_n),

где Y – зависимая переменная, т.е. результативный показатель;

x_i – независимые переменные (факторы).

В ходе регрессионного анализа решаются две главные задачи:

– построение уравнения регрессии, т. е. нахождение вида зависимости между результативным показателем и независимыми факторами;

– оценка значимости полученного уравнения (на основе коэффициента детерминации, критерия Фишера и критерия Стьюдента).

Вид уравнения регрессии определяется по графику, изображающему связь между факторами и результативным показателем, который строится на основе однородной совокупности статистических данных и служит обоснованием уравнения связи.

Если зависимость линейная (на графике изображена в виде прямой восходящей или снисходящей линии), то при:

а) однофакторном анализе уравнение будет иметь вид:

Y(х) = а +b·x,

где Y – результативный показатель;

b – коэффициент регрессии, который показывает, насколько изменится результативный показатель при изменении фактора на 1 ед.;

а – свободный член, который показывает величину влияния неучтенных факторов;

х – фактор;

б) многофакторном анализе уравнение будет иметь вид:

Y(х) = а +b₁x₁ + b₂x₂ +…+ b_nx_n.

Если зависимость нелинейная (на графике изображена в виде параболы или гиперболы), то уравнение регрессии принимает следующий вид:

– при графике в виде параболы

Y(х) = а +b·x + с·x² ,

– при графике в виде гиперболы

Y(х) = а +b:x ².

При сложном характере зависимости между изучаемыми явлениями используются более сложные параболы (третьего, четвертого порядка (полинома) и т. д.), а также квадратическое, степенные, показательные и другие функции.

Выбор конкретного уравнения регрессии и его решение осуществляется в рамках табличного процессора MS Excel или статистического программного пакета STADIA.

Сущность решения уравнений регрессии заключается в нахождении параметров регрессии (а и b). Это осуществляется по способу наименьших квадратов с использованием системы нормальных уравнений, суть которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результативного показателя от его расчетных значений.

При прямолинейной зависимости система нормальных уравнений имеет вид:

∑y = na +b∑x,

∑xy = a∑x +b∑x².

При криволинейной зависимости:

∑ y=nf+b∑1/x

∑y(1/x)= a∑1/x +b∑(1/x)².

Для оценки адекватности модели используют такие критерии, как ошибка аппроксимации, F-отношения, коэффициента детерминации.

В необходимых случаях построение уравнения регрессии может быть использовано для прогнозирования результативного признака.

Апробируем методику корреляционно-регрессионного анализа на конкретном примере.

Пример 1. На основании данных таблицы 1 необходимо проанализировать зависимость между расходами на оплату труда (Y) и выручкой от продажи товаров (х).

Таблица 1

Данные о выручке от продажи товаров и сумме расходов на оплату труда

в разрезе торговых организаций

В тыс. руб.

На основании данных таблицы 1 построим график зависимости изменения расходов на оплату труда от изменения товарооборота (рисунок 1).

Рисунок 1 – Зависимость динамики расходов на оплату труда от выручки от продажи товаров

Данные графика свидетельствуют о том, что между расходами на оплату труда и выручкой от продажи товаров существует прямолинейная зависимость. Далее измерим тесноту связи между изучаемыми показателями на основе коэффициента корреляции, для чего сгруппируем магазины по сумме выручки от продажи товаров и составим следующую разработочную таблицу (таблица 2).

Таблица 2

Разработочная таблица для определения показателей, используемых при расчете коэффициента корреляции

Согласно данным таблицы, элементы расчета коэффициента корреляции имеют следующие значения:

Уx_i = 221,971;

Уy_i = 9,639; Уy_ix_i = 904,586; Уx²_i = 21 354,107; Уy² = 38,550.

Рассчитанные данные подставляются в формулу коэффициента корреляции:

Коэффициент детерминации: r² = 0,8² = 0,64.

Коэффициент корреляции, равный 0,8 ед., означает наличие высокой стохастической зависимости между суммой расходов на оплату труда и выручкой от реализации. Образование данной стохастической зависимости объясняется наличием (и доминированием в данном случае) постоянной части расходов по заработной плате, начисление которой не увязано с динамикой результата хозяйственной деятельности организации, т. е. выручки от продажи, а значение коэффициента детерминации, составляющее 0,64 ед. означает, что изменение расходов на оплату труда на 64 % объясняется изменением выручки от продажи, что дает основание для проведения регрессионного анализа.

Согласно виду графика, представленного на рисунке 1, между изучаемыми показателями существует прямолинейная корреляционная зависимость, в связи с чем уравнение регрессии будет иметь вид: Y(х) = а + b·x,

где Y – расходы на оплату труда; х – выручка от продажи товаров.

Для определения параметров а и в следует решить систему нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Отсюда значения коэффициента в определяется по формуле

.

Рассчитанное значение параметра в говорит о том, что при увеличении выручки от продажи товаров на 1 млн. руб. расходы на оплату труда возрастут на 42,3 тыс. руб. При этом подставив значение данного параметра в первое уравнение системы, определим значение параметра а:

∑ y = na + b ∑ x;

9,639=а·28+0,0423·221,971;

28а=0,0423·221,971-9,639;

28а=0,2496;

а=0,009.

Значение параметра а показывает, что коэффициент регрессии может быть применим для торговых организаций с размером выручки от продажи за год свыше 9 млн. руб.

В целом уравнение регрессии имеет вид: y = 0,009+0,0423·х.

Полученное уравнение связи можно использовать для прогнозирования суммы расходов на оплату труда, если выручка от продажи возрастет и составит, например, 15 млн. руб.:

y = 0,009+0,0423· х =0,009+0,0423·15=0,644 млн. руб.

При выполнении регрессионного анализа необходимо получить оценки, позволяющие оценить точность модели, вероятность ее существования и обоснованность применения в аналитических целях. Таким образом, качество корреляционно-регрессионного анализа обеспечивается выполнением ряда следующих условий:

1. Однородность исходной информации, которая оценивается в зависимости от относительного ее распределения около среднего значения. Критериями здесь служат:

– среднеквадратическое отклонение;

– коэффициент вариации;

– коэффициент равномерности;

– закон нормального распределения.

2. Значимость коэффициентов корреляции может быть оценена (наряду с уже указанным выше коэффициентом детерминации) с помощью t- критерия Стьюдента, алгоритм расчета которого при линейной однофакторной связи имеет вид:

.

Если полученное эмпирическое (расчетное) значение критерия (t _э) будет больше критического табличного значения (t _т), то коэффициент корреляции можно признать значимым.

3. Адекватность (надежность) уравнения регрессииоценивается с помощью F- критерия Фишера, алгоритм расчета которого выглядит следующим образом:

,

где m – число параметров уравнения регрессии;

σ²_y – дисперсия по линии регрессии;

σ²_ост – остаточная дисперсия.

Если эмпирическое значение F –критерия (F _э) окажется выше табличного (F _т), то уравнение регрессии следует признать адекватным, т.е. правомерным для использования. При этом чем выше величина критерия Фишера, тем точнее в уравнении связи представлена зависимость, сложившаяся между факторными и результативными показателями.

4. Сравнительной силой влияния факторов, оценка которой необходима с целью определения проблемной и наиболее эффективной в перспективе зоны для направления усилий в конкретную область бизнеса. Решение этой задачи может быть осуществимо посредством использования:

а) частных коэффициентов эластичности (Э _i), показывающих ожидаемый рост результативного показателя (в %) с возрастанием факторного на 1 %:

,

б) стандартизированных бета-коэффициентов (в _i):

.

Чем выше бета-коэффициент, тем сильнее воздействие анализируемого фактора на результативный признак.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: