Добротность объемных резонаторов

Добротность — одна из общих характеристик, присущих любым колебательным системам независимо от их физической природы. Ее можно определить как величину, пропорциональную числу свободных колебаний, которые успевает совершить система за время переходного процесса вплоть до момента затухания, определяемого любым известным способом, например, по уровню 10% от начальной амплитуды. Конкретно принято определять добротность Q следующим образом:

(4.23)

здесь - энергия, запасаемая в системе, которая вычисляется в какой-нибудь определенный момент времени; - средняя величина энергии потерь, вычисленная за тот период колебаний, в который была найдена .Последнюю из данных характеристик можно выразить через мощность потерь:

, (4.24)

откуда

. (4.25)

Перейдем к конкретному рассмотрению добротности электромагнитных объемных резонаторов. В целях большей общности будем полагать, что резонатор представляет собой замкнутый объем V, ограниченный поверхностью S. Будем полагать также, что потери энергии в резонаторе связаны лишь с конечной проводимостью материала стенок и диэлектрика, заполняющего резонатор, что представляет наибольший практический интерес. Расчет добротностей проведем следующим образом: сначала предположим, что стенки резонатора выполнены из идеального проводника без потерь, а диэлектрик имеет потери, и далее наоборот – металл с потерями, диэлектрик идеальный.

Как показал Максвелл энергия, запасаемая в электрическом и магнитном полях, выражается интегралами по объему резонатора

. (4.26)

Заметим, что в формулу (4.26) надо подставлять величины Е или Н, которые относятся к идеальному резонатору без потерь.

Мощность потерь в диэлектрике определим согласно (1.53), с учетом того, что проводимость диэлектрика с потерями можно представить как , где - мнимая составляющая комплексной диэлектрической постоянной , и предполагая отсутствие магнитных потерь ():

(4.27)

Очевидно, что добротность, связанная с потерями в диэлектрике, определиться следующим образом

. (4.28)

Потери в металле определим по (1.149)

, (4.29)

здесь - поверхностное сопротивление металла стенок.

В результате добротность при потерях в металле:

. (4.30)

Вычисленное

Результирующая добротность при потерях обоих видов, определяется как

. (4.31)

Для большинства объемных резонаторов, используемых на практике, в справочной литературе приводятся формулы для расчета добротности (в основном связанной с потерями в металле). Например, прямоугольный резонатор с типом колебаний или, что то же самое, , обладает добротностью, вычисляемой по формуле

. (4.32)

Расчет добротности круглого цилиндрического резонатора, работающего на колебании типа , приводит к следующему результату:

. (4.33)

Рис. 4.16. Зависимость добротности объемного резонатора,
работающего на колебании типа , от осевого размера
(а = 38,4 мм, см, проводимость медных
стенок а = 5,7- 10⁷ 1/Ом×м)

График зависимости добротности от осевого размера l, рассчитанный по (4.30), приведен на рис. 4.16. Из графика следует, что в объемных резонаторах без труда может быть достигнута добротность порядка нескольких десятков тысяч, что значительно превышает величины добротностей обычных колебательных контуров, образованных сосредоточенными элементами. Причина этого заключается в том, что объемный резонатор способен накапливать значительное количество электромагнитной энергии при относительно небольших омических потерях. Нарастающий характер кривой на графике объясняется как раз тем, что с ростом l объем резонатора, а следовательно, и величина накапливаемой энергии возрастают быстрее, чем мощность потерь, пропорциональная его поверхности.

В заключение необходимо сделать два существенных замечания. Во-первых, реально достижимые цифры добротностей, как правило, несколько ниже теоретических, предсказываемых формулой (4.33), поскольку здесь не учитываются потери в трущихся контактах между боковой поверхностью резонатора и одной из торцевых поверхностей, которую приходится перемещать вдоль оси в целях перестройки резонатора по частоте.

Во-вторых, в приведенных расчетах не учитывается шунтирующее действие внешних цепей, проявляющееся через элементы связи. Поэтому добротность резонатора, найденную описанным способом, принято называть ненагруженной или собственной добротностью в отличие от нагруженной добротности, которая оказывается тем ниже, чем выше коэффициент связи резонатора с внешними цепями.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: