Релятивистские уравнения Гамильтона.

Нам уже известны нерелятивистские уравнения Гамильтона:

; .

Здесь -функция Гамильтона:

.

и - канонические переменные в Гамильтоновом формализме. Если взять производные по времени от канонических переменных, то получим нерелятивистскую скорость и нерелятивистскую, ньютоновскую силу. Покажем это.

используя тот факт, что в ньютоновской механике масса является постоянной величиной, запишем

.

Получен второй закон Ньютона.

Запишем теперь релятивистские уравнения Гамильтона:

, .

Следует отметить, что здесь и - "новые" функция Гамильтона и канонический импульс. И следует убедиться, что данные уравнения совпадают с теми, которые были определены ранее.

В нерелятивистском случае функцию Гамильтона для одной частицы можно было записать как

.

В релятивистском же приближении "новую" функцию Гамильтона следует записывать как

,

где - кинетический импульс (в отличие от обобщенного импульса ). Теперь, чтобы полученные уравнения были верными, следует потребовать, чтобы . Но тогда имеем

.

Так как переменной является обобщенный импульс, а не кинетический, произведем обратную замену. Получим окончательный вид новой функции Гамильтона:

.

Убедимся теперь, что из функции Гамильтона такого вида можно получить уже известные выражения для скорости и силы. Возьмем сначала производную по собственному времени от координаты:

.

Получили выражение для скорости. Продифференцируем теперь по собственному времени обобщенный импульс:

.

С другой стороны та же производная может быть записана как

.

Сравнив полученные результаты, можно записать следующее:

.

Это выражение есть ни что иное, как сила Лоренца.

Проверим также, что обобщенный импульс есть производная функции Лагранжа по скорости (аналогично ):

–

действительно, тот самый обобщенный импульс , который был введен ранее.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: