Раздел I. Электрические однофазные цепи синусоидального тока

1.1. Основные понятия и определения

Электрической цепью называют совокупность объектов, образующих путь для электрического тока. Электромагнитные процессы в цепи могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении.

Электрическая цепь состоит из трех групп отдельных элементов.

Источники электрической энергии (питания) - электромеханические генераторы, электрические аккумуляторы, гальванические элементы, термоэлектрические генераторы, фотоэлементы и др. Характеризуются – мощностью, ЭДС, внутренним сопротивлением.

Приемники электрической энергии (преобразуют электроэнергию в другие виды энергии) - электродвигатели, нагревательные и осветительные приборы, электролизные установки и др. Характеризуются – мощностью, напряжением, сопротивлением.

Элементы, преобразующие параметры электроэнергии (напряжение, частоту) – трансформаторы, преобразователи.

Элементы, передающие электроэнергию – провода.

Активные элементы электрической цепи индуцируют ЭДС (генераторы, аккумуляторы, электродвигатели). Остальные - пассивные элементы.

Электрическая схема цепи - графическое изображение электрической цепи.

Резистор элемент электрической цепи, характеризуемый активным сопротивлением электрическому току.

Индуктивная катушка элемент электрической цепи, характеризуемый индуктивностью.

Конденсатор элемент электрической цепи, характеризуемый емкостью.

Активное сопротивление, индуктивность, емкость – это параметры электрической цепи.

Линейная электрическая цепь – параметры не зависят от значений и направлений токов и напряжений.

Простейшая (одноконтурная) и сложная (многоконтурная) схемы электрических цепей постоянного тока изображены на рис. 1.1, рис. 1.2. - источники ЭДС; - ток; - резисторы; - напряжение «на зажимах электрической цепи», падение напряжения на резисторе. Стрелками показаны условные положительные направления электрических величин.

Рис. 1.1. Одноконтурная схема электрической цепи.

Рис. 1.2. Многоконтурная схема электрической цепи.

Ветвь - участок электрической цепи с одним и тем же током в элементах. Узел - место соединения ветвей электрической цепи.

Контур электрической цепи - замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Различают

1. Электрическая цепь постоянного тока.

Полярность источников ЭДС и направление тока постоянные. Однако, значения ЭДС и тока могут изменяться во времени.

2. Электрические цепи синусоидального тока.

Электрические цепи, в которых периодические величины ЭДС, напряжения и тока изменяются по синусоидальному закону, называются электрическими цепями синусоидального тока. Метод расчета и анализа – использование действующих значений эквивалентных по совершаемой работе действию постоянного тока такого же значения; изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов векторами и комплексными числами.

3. Переходные процессы в электрических цепях.

Возникают при коммутации электрической цепи (изменении ее состояния). Переход от одного установившегося энергетического состояния к другому. Метод расчета и анализа – решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно времени переходного процесса.

4. Периодические несинусоидальные токи в электрических цепях.

Метод расчета и анализа – разложение в гармонический ряд Фурье и сведение к изучению синусоидальных процессов.

Наибольшее распространение получили электрические цепи синусоидального тока

Основные параметры синусоидальной функции тока рис. 1.1.

- круговая частота,

– период,

- частота. В линейных электрических цепях в установившемся режиме частота ЭДС определяет частоту токов и напряжений.

- время, с

, - мгновенное и амплитудное значения тока.

Аналогично для ЭДС и напряжения

, , и , - амплитуды ЭДС, напряжения и тока.

Рис. 1.1. Синусоидальное напряжение и ток, совпадающие по фазе с начальной фазой равной нулю.

1.2 Действующие и средние значения синусоидальных ЭДС, напряжения и тока

Действующим значением периодического тока является его среднеквадратическое значение за период

-

значение постоянного тока эквивалентное выделяемой теплоте на активном сопротивлении за период.

Принимаем соотношение

Для синусоидального тока, ЭДС и напряжения

Пояснения. . Интеграл по периоду гармонической функции равен нулю.

Электроизмерительные приборы, в которых используется принцип теплового или электродинамического эффекта, показывают действующее значение.

Средним значением периодической величины является ее среднеарифметическое значение за полпериода

- значение постоянного тока, при котором за время полупериода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе.

Принимаем соотношение

Для синусоидальных величин тока, ЭДС и напряжения

.

Пояснение. Замена переменной . Откуда и при верхнем пределе получим .

1.3 Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов в действительной форме (в прямоугольных координатах)

Аргумент синусоидальной функции , выраженный в радианах, называется фазовым углом (фазой).

- начальная фаза - фазовый угол при .

Графическое изображение в прямоугольных координатах действительных функций

показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Синусоидальные ЭДС с различными начальными фазами. Синусоидальные напряжение и ток с различными начальными фазами.

Начальные фазы отсчитываются влево от начала координат до ближайшей точки перехода синусоид из отрицательной области в положительную, причем на рис.1.2 . Синусоида отстает по фазе от синусоиды - находится правее.

Разность фазовых углов, равную разности начальных фаз

называют сдвигом фаз.

Если начальные фазы равны – функции находятся в фазе; если сдвинуты на - в противофазе.

Особое значение в электротехнике и электроэнергетике имеет сдвиг по фазе между напряжением и током .

Если начальную фазу тока выразить через начальную фазу напряжения

, то напряжение и ток будут описываться уравнениями

;

Если , то

; .

Эти уравнения показывают, что если угол положительный, то ток отстает по фазе от напряжения (рис. 1.3), и наоборот.

Рис. 1.3. Ток отстает от напряжения со сдвигом по фазе на угол .

При сложении синусоидальных величин суммарная синусоида строится по точкам (рис. 1.4).

Рис. 2.4. Графическое сложение синусоидальных токов.

1.4 Векторное изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

Значительно проще складывать две синусоидальные величины, изменяющиеся с одинаковой частотой, поставив им в соответствие вращающиеся вектора.

На рис. 1.5 изображена синусоидальная ЭДС . Длина вектора равна амплитуде . Вектор вращается с постоянной угловой скоростью против часовой стрелки. Начальная фаза отсчитывается от горизонтальной оси.

Рис. 1.5. Векторное изображение синусоидальных ЭДС.

а – вращающийся вектор; б – кривая изменения его проекции на вертикальную ось

Проекция вектора на вертикальную ось изменяется по синусоидальному закону; на горизонтальную ось - по косинусу (проекция вектора на ось от которой отсчитывается угол изменяется по косинусу). Векторами можно изображать синусоидальные ЭДС, напряжения, токи данной электрической цепи одинаковой частоты.

В установившемся режиме углы сдвига фаз между векторами остаются постоянными. В этом случае вектора можно не вращать и производить над ними действия по правилам векторной алгебры. Начальную фазу задающего по условию задачи вектора удобно принять нулевой. Модуль результирующего вектора будет равен амплитуде результирующей синусоидальной функции. Углы между векторами будут углами фазового сдвига. Проекции на вертикальную или горизонтальную оси – мгновенными значениями, соответственно, синусоидальных или косинусоидальных функций.

В связи с отсутствием необходимости вращения векторов отпадает необходимость в изображении осей координат. Интересуясь только взаимным расположением векторов, один из них можно проводить в любом направлении. Обычно задающий вектор для удобства располагают горизонтально или вертикально (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Векторная диаграмма простейшей электрической цепи.

Совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, являющихся изображениями действующих в электрической цепи электрических величин одинаковой частоты, построенных с учетом их правильного взаимного расположения на плоскости, называют векторной диаграммой (рис.2.6).

Векторная диаграмма может быть построена для действующих значений так же как для амплитудных значений.

1.5 Комплексный метод расчета

Действие с векторами удобно представить действиями с комплексными числами.

Представим вращающийся вектор , соответствующий синусоидальной функции комплексной функцией . Комплексная функция может быть представлена

а) в тригонометрической форме:

б) в показательной форме:

где

- комплексная амплитуда,

— мнимая единица,

- соотношение, вытекающее из формулы Эйлера;

— действительная часть комплексной функции (проекция вектора на ось вещественных чисел , Real axis);

— мнимая часть комплексной функции (проекция вектора на ось мнимых чисел , Imaginary axis);

- модуль комплексной функции;

— главное значение аргумента комплексной функции, причем

Фаза временной комплексной функции отсчитывается от положительного направления оси вещественных комплексной плоскости против часовой стрелки.

Умножение любого комплексного числа на (оператор поворота) приводит к изменению его аргумента на угол и повороту соответствующего вектора на тот же угол. Поскольку , то умножение комплексного числа на приводит к повороту вектора на угол .

Так как , то .

Две комплексные функции, имеющие равные модули, но противоположные по знаку аргументы, называются сопряженными. Для сопряженных функций .

Рассмотрим синусоидальный ток

и комплексную функцию

Рис. 2.7. Изображение комплексной функции вращающемся вектором на комплексной плоскости

Данная комплексная функция представляет аналитическую запись вектора с модулем , вращающегося в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью , равной угловой частоте синусоидального тока, в направлении, противоположном движению часовой стрелки (рис. 2.7).

Справедливы соотношения

,

,

то есть синусоидальный ток равен проекции на ось мнимых величин вращающегося вектора, изображающего комплексную функцию.

Таким образом, синусоидальному току (оригиналу) может быть поставлена в соответствие комплексная функция (изображение) . Условная запись такого преобразования имеет вид

.

Аналогичные преобразования могут быть выполнены для синусоидальных напряжений и ЭДС

, .

Над комплексными функциями, изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, можно производить все алгебраические действия.

В установившемся режиме интерес представляют фазовые сдвиги между векторами. Разделив комплексные функции на множитель , соответствующий временному вращению вектора, вычисления проводят относительно комплексных амплитуд: ; ; . При этом начальную фазу задающей физической величины (обычно напряжения) принимают равной нулю. В этом случае задающий вектор на комплексной плоскости будет совпадать с осью вещественных величин . При этом синусоидальный оригинал изображения в начальный момент времени равен нулю, а косинусоидальная функция равна единице. Комплексные действующие величины тока, ЭДС и напряжения

, ,

где - действующие значения.

Таким образом, при комплексном изображении синусоидальных величин в показательной форме в качестве модуля следует брать действующее значение синусоидальной величины, а в качестве аргумента — ее начальную фазу.

Производная и интеграл для синусоидального тока

,

Аналогично для напряжения и ЭДС.

Используя указанные преобразования, систему дифференциальных уравнений для действительных функций времени можно заменить системой алгебраических уравнений с комплексными токами, напряжениями и ЭДС.

Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока применим только при установившихся режимах.

Комплексный метод расчета электрических цепей полезно сопровождать построением векторных диаграмм на комплексной плоскости для момента времени .

Комплексные ток , напряжение , ЭДС и выражаемые через них комплексные сопротивление и комплексная проводимость не являются физическими величинами и поэтому не имеют никакого физического смысла, а значит, и единиц измерения.

1.6 Законы Кирхгофа для электрической цепи

Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений.

Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю

где n — количество ветвей, подключенных к узлу.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Сумма комплексных токов в узле равна нулю

Первый закон Кирхгофа для цепей постоянного тока.

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю

где — число ветвей, сходящихся в узле.

До написания уравнения необходимо задать условные положительные направления токов в ветвях, обозначив эти направления на схеме стрелками. Токи, направленные к узлу, записывают с одним знаком (например, с плюсом), а токи, направленные от узла, — с противоположным знаком (с минусом).

Второй закон Кирхгофа для мгновенных значений.

Алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС в контуре равна алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений в этом контуре

где n — количество источников ЭДС в контуре, а m —количество пассивных элементов в этом же контуре.

Для максимальных и действующих значений законы Кирхгофа справедливы только в векторной или комплексной форме.

Второй закон Кирхгоффа в комплексной форме.

Сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных падений напряжения в этом контуре

При составлении уравнений по законам Кирхгофа в цепях синусоидального тока необходимо указать условное положительное направление ЭДС, токов в ветвях и положительное направление падений напряжений на участках цепи, совпадающее с положительным направлением тока. Это относится как к мгновенным значениям синусоидальных величин, так и к комплексным. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа задают условные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи и для каждого контура выбирают направление обхода. Если при этом направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то такую ЭДС берут со знаком плюс, если не совпадает — со знаком минус. Падения напряжений в правой части уравнения берут со знаком плюс, если положительное направление тока в данном элементе цепи совпадает с направлением обхода контура, если не совпадает — со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа для цепей постоянного тока.

Алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех элементах этого контура

,

где — число ЭДС в контуре; — число элементов с сопротивлением в контуре.

2.7 Электрические цепи с резистором

Резистор элемент электрической цепи, характеризуемый активным сопротивлением электрическому току. Активное сопротивление количественно определяет необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Активное сопротивление резистора в общем случае зависит от частоты тока (поверхностный эффект) и температуры.

Условные положительные направления стрелок падения напряжения на резисторе совпадает с условно положительным направлением тока . Это соответствует тому, что активная мощность всегда положительна.

Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением (рис. 2.11) приложено напряжение .

Под действием напряжения в цепи возникает синусоидальный ток . По закону Ома для участка цепи падение напряжения на активном сопротивлении . По второму закону Кирхгофа для контура . Откуда .

Решая это уравнение относительно тока

.

В цепи с резистором ток совпадает по фазе с напряжением или сдвиг фаз .

Для амплитуд и действующих значений

, .

Рис. 2.11. Электрическая цепь с резистором R

а – схема; б – изменение мгновенных значений тока и напряжений; в – векторная диаграмма.

В комплексной форме для действующих значений ток цепи

сокращая на для комплексных амплитуд,

где — активная проводимость.

Начальная фаза тока равна начальной фазе напряжения. Сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю .

Принимая начальную фазу напряжения равной нулю, вектора напряжения и тока будут совпадать с осью комплексной плоскости.

2.8 Электрическая цепь с индуктивным элементом

Индуктивная катушка элемент электрической цепи, характеризуемый индуктивностью. Индуктивность – коэффициент пропорциональности между током в катушке и потокосцеплением с витками катушки от этого тока . Индуктивность возрастает с увеличением числа витков и уменьшением магнитного сопротивления потоку вокруг витков катушки. Индуктивность определяет энергию магнитного поля, создаваемую этим током.

Рис. 2.12. Электрическая цепь с индуктивностью L

а – схема; б – изменение ЭДС самоиндукции, напряжения и тока; в – векторная диаграмма.

Пусть к зажимам цепи с индуктивностью (рис. 2.12) приложено напряжение источника питания . Для сокращения записи примем .

Под действием напряжения в цепи возникает синусоидальный ток . Этот ток создает синусоидальный магнитный поток с потокосцеплением катушки , где — число витков катушки.

Согласно закону электромагнитной индукции, на зажимах катушки появится ЭДС самоиндукции

.

Знак минус согласно принципу электромагнитной инерции, сформулированному Ленцем, указывает на то, что ЭДС самоиндукции всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

Для катушки выбираем связь . Это соответствует тому, что при возрастании тока увеличивается энергия магнитного поля в катушке и мощность на ее зажимах положительна. Тем самым выбираем, что условно положительные направления стрелок падения напряжения на катушке совпадает с условно положительным направлением тока .

Условное положительное направление для ЭДС следует принимать таким же как для , так как при этом в согласии со связью всегда действительные направления и будут противоположны.

По второму закону Кирхгофа

,

, откуда

, интегрируя

, где

. В цепи с индуктивностью ток отстает по фазе от напряжения со сдвигом .

Величина имеет размерность сопротивления и называется индуктивным сопротивлением.

Для амплитуд и действующих значений

, .

В комплексной форме для действующих значений ток цепи

сокращая на ,

,

где — индуктивная проводимость.

Умножение вектора напряжения на соответствует повороту вектора тока на угол в отрицательном направлении по часовой стрелке. Вектор тока отстает от вектора напряжения. Фазовый сдвиг между током и напряжением .

2.9 Электрическая цепь с емкостным элементом

Конденсатор элемент электрической цепи, характеризуемый емкостью. Емкость отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками. Емкость пропорциональна площади обкладок и проницаемости диэлектрика, обратно пропорциональна расстоянию между обкладками. Емкость определяет энергию электрического поля, создаваемого зарядом конденсатора.

Под действием приложенного к конденсатору напряжения происходит поляризация диэлектрика, то есть смещение заряженных частиц, входящих в состав молекул его вещества, в противоположных направлениях. Электрически нейтральные при отсутствии внешнего электрического поля молекулы диэлектрика превращаются в электрические диполи, то есть системы двух противоположных по знаку точечных зарядов. В процессе поляризации в диэлектрике происходит движение элементарных частиц в пределах молекулы, образующее ток поляризации, или ток смещения.

Пусть к зажимам цепи с емкостью (рис. 2.13) приложено напряжение .

Под действием напряжения в цепи возникает синусоидальный ток и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд , где — напряжение на конденсаторе.

Рис. 2. 13. Электрическая цепь с емкостью С

а – схема; б – изменение напряжения и тока; в – векторная диаграмма.

Условное положительные направления падения напряжения на конденсаторе совпадает с условно положительным направлением тока . Это соответствует тому, что при зарядке конденсатора энергия поступает в него и мощность на его зажимах положительна.

По второму закону Кирхгофа для данной цепи имеем . Тогда заряд на конденсаторе

.

По определению ток

, где

. В цепи с емкостью ток опережает по фазе напряжение со сдвигом .

Величина имеет размерность сопротивления и называется емкостным сопротивлением.

Для амплитуд и действующих значений

, .

В комплексной форме для действующих значений ток цепи

,

сокращая на ,

,

где - реактивная емкостная проводимость.

Умножение вектора напряжения на соответствует повороту вектора тока на угол в положительном направлении против часовой стрелки. Вектор тока опережает напряжение. Фазовый сдвиг между током и напряжением .

2.10 Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и C. Закон Ома в комплексной форме

Под действием напряжения в цепи возникает ток . При заданных параметрах элементов цепи , и задача сводится к определению действующих значений тока в цепи, напряжений на ее элементах и сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи.

Рис. 2.14. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и C. а — схема; б — изменение напряжения и тока; в — векторная диаграмма напряжений и тока.

Учитывая соотношения

, и , так как ,

по второму закону Кирхгофа для последовательного соединения

.

Функция полностью определена, если известны амплитуда тока и сдвиг фаз между напряжением и током.

Для комплексных действующих величин

- реактивное сопротивление.

- реактивная проводимость.

- комплексное электрическое сопротивление.

- полное электрическое сопротивление цепи.

- полная электрическая проводимость цепи.

- сдвиг фаз между и .

Комплексные напряжения на этих элементах

, , .

Для действующих величин

, , , .

При построении векторной диаграммы в качестве задающего удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Задающий вектор совмещаем с положительным направлением вещественной оси.

2.11 Треугольники напряжений и сопротивлений

Если электрическая цепь состоит из последовательно соединенных элементов, то векторная диаграмма напряжений имеет вид прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника равна полному напряжению на зажимах цепи, а катеты треугольника — активной и реактивной составляющим этого напряжения.

Из треугольников напряжений можно получить соотношения

,

,

где

,

.

После деления всех сторон треугольника напряжений на ток получим треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений

Рис. 2.15. Треугольники сопротивлений

а — при ; б — при .

Стороны треугольника сопротивлений равны

, , .

Из треугольника сопротивлений

;

,

а также

.

2.12 Мощность цепи синусоидального тока

Мгновенное значение мощности цепи синусоидального тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока

.

Пусть под действием напряжения в цепи возникает ток .

Тогда мгновенная мощность цепи

Справка:

Таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постоянную, не изменяющуюся во времени, и переменную, изменяющуюся периодически с частотой . Вследствие этого мгновенное значение мощности также изменяется с двойной частотой. При этом мощность положительна, если напряжение и ток совпадают по направлению, и отрицательна, если напряжение и ток имеют разные знаки.

Когда мощность положительна, тогда электрическая энергия передается от источника к приемнику, и наоборот.

Для количественной оценки электроэнергетических процессов удобнее использовать среднее значение мощности , которое можно найти, вычислив работу, совершаемую за один период

.

Откуда

.

Подставив выражение для

,

так как

.

Таким образом, среднее значение мощности равно постоянной составляющей мгновенного значения.

Средняя мощность характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразования в другие виды энергии, то есть активный необратимый процесс.

Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью

и измеряют в ваттах (Вт).

1. В цепи с активным сопротивлением ,

.

В этом случае напряжение и ток совпадают по фазе и мгновенное значение мощности всегда положительно. Это указывает на то, что при наличии в цепи только элемента с активным сопротивлением вся электроэнергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии.

Среднее значение мощности или активная мощность

, так как .

Поскольку на элементе с сопротивлением напряжение , активная мощность цепи может быть определена как

.

Рис. 2.16. Изменение электрических величин в цепи с активным сопротивлением

а — напряжения и тока; б — мощности.

2. В цепи с катушкой индуктивностью ,

.

Мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую.

В моменты времени, когда ток и напряжение имеют одинаковые знаки, мгновенная мощность положительна и энергия передается от источника питания к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле.

В моменты времени, когда ток и напряжение противоположны по знаку, мощность отрицательна и запасенная в магнитном поле катушки энергия возвращается источнику питания. Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной.

Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью , равной амплитуде мгновенного значения мощности

.

Рис. 2.17. Изменение электрических величин в цепи с индуктивностью

а — напряжения и тока; б — мощности.

Реактивную мощность измеряют в вольт-амперах реактивных (В·Ар).

Реактивную индуктивную мощность можно также определить по формулам

.

3. В цепи с конденсатором емкостью ,

.

Мгновенная мощность отличается знаком.

В цепи с емкостью также происходит обмен электроэнергией между источником питания и конденсатором.

Рис. 2.18 Изменение электрических величин в цепи с емкостью

а — напряжения и тока; б — мощности.

При передаче энергии от источника питания в течение четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора, а в течение следующей четверти периода энергия электрического поля возвращается источнику.

Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной емкостной мощностью , равной амплитуде мгновенного значения мощности

.

Реактивную емкостную мощность можно также определить по формулам

.

В общем случае, когда электрическая цепь состоит из элементов с активным и реактивным сопротивлениями, сдвиг по фазе между напряжением и током в цепи .

Площадь (рис. 2.19), ограниченная положительным значением мощности и осью абсцисс, больше площади, ограниченной отрицательным значением мощности и осью абсцисс. Это означает, что в итоге часть электроэнергии передается от источника приемнику и преобразуется в нем в другие виды энергии.

Рис. 2.19. Изменение электрических величин в цепи при последовательном соединении элементов с активным и реактивным сопротивлениями.

а — напряжения и тока; б — мощности.

Количественно процесс преобразования электроэнергии оценивается активной мощностью. Амплитуду переменной составляющей мощности называют полной мощностью и обозначают . Полную мощность выражают в вольт-амперах (В А). Ее можно вычислить по формулам

.

Обмен энергией количественно оценивают реактивной мощностью . Так как в общем случае реактивная составляющая напряжения , то реактивная мощность цепи

,

причем в цепи с индуктивностью мощность , а в цепи с емкостью .

Реактивная мощность цепи может быть вычислена как

.

Так же

,

- реактивная мощность цепи равна разности реактивной индуктивной и реактивной емкостной мощностей.

Соотношение между полной, активной и реактивной мощностями можно получить, воспользовавшись формулами

,

или

Следовательно, полная мощность равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной мощностей. Кроме того,

;

.

Мощность цепи синусоидального тока в комплексной форме равна произведению комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток

,

где — сопряженный комплексный ток.

Используя формулу Эйлера, получим

.

Таким образом, вещественная составляющая комплексной мощности S является активной, а мнимая составляющая — реактивной мощностью цепи.

Косинус угла , равного сдвигу фаз между током и напряжением, называют коэффициентом мощности

.

Он показывает, какая доля полной мощности составляет активную мощность или какая доля всей электроэнергии преобразуется в другие виды энергии.

2.13 Электрическая цепь при параллельном соединении элементов с R, L и C

Под действием напряжения источника в цепи и в ее параллельных участках возникают токи. При заданных параметрах элементов цепи , и задача сводится к определению действующих значений токов и сдвигов фаз между токами и напряжением на зажимах цепи.

Согласно закону Ома, комплексные токи в ветвях

Ток в неразветвленной части цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа с учетом уравнений

.

Рис. 2.20 Параллельное соединение элементов с R, L и C

а — схема цепи; б — векторная диаграмма токов; в — треугольник токов.

- комплексная электрическая проводимость.

- полная электрическая проводимость цепи.

— реактивная проводимость цепи.

- сдвиг фаз между напряжением и током .

Действующие значения токов равны

;

; ; .

При построении векторной диаграммы за начальный вектор удобно принять вектор напряжения . Векторы комплексных токов , , направляют с учетом их сдвига по фазе относительно напряжения. Из треугольника токов следуют соотношения для действующих значений токов

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: