КОСОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Свойство косопараллельных в псевдоевклидовом многообразии легко распространяется на построение косопараллельных фигур. Рассмотрим в качестве простого примера два действительных (x, y) и одно мнимое (-iz) измерения, где i обозначает √-1, и пусть ОАСВ является единичным квадратом, лежащим в плоскости xy.

Переместим точку С в точку D и потребуем, чтобы отрезок АD был косопараллелен отрезку ОВ, а ВD косопараллелен ОА. Тогда АD имеем направление (φ, 1, iφ), где φ – вещественный параметр, а ВD имеем направление (1, φ, iφ). Легко видеть, что D имеет координаты (1/(1- φ), 1/(1 – φ), i φ/(1 – φ)), и отрезки АD, ВD имеют длину 1/(1- φ) каждый. Но АС параллелен ОВ в евклидовом смысле и, следовательно, косопараллелен АD; точно также ВС косопараллелен ВD. Таким образом, можно сказать, что фигура ОАDВ как та же самая, что и фигура ОАСВ, так и отлична от нее. Различие проявляется при проекции ОАDВ параллельно оси Z в плоскость xy, когда D в проекции дает (1/(1- φ), 1/(1 – φ), 0), в то время как С проектируется в (1, 1, 0). Таким образом ОАDВ совпадает с ОАСВ в трех измерениях, но проекции этих фигур в два измерения различны.

Угол ÐDАС является нуль-углом, так что D не отделено реально от С. Мы можем назвать ОАDВ "косым квадратом". Переходя к большей общности, мы можем рассмотреть построение косого куба в псевдоевклидовом многообразии, имеющего k действительных и j мнимых измерений, где k + J = n. В n измерениях куб имеет 2n вершин и n2^{n – 1} ребер, они образуют n множеств, каждое множество содержит 2^{n – 1} ребер, ребра каждого множества взаимно параллельны.

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ

Если каждую вершину куба произвольно переместить, так чтобы получился перемещенный куб, то здесь имеется n2ⁿ произвольных параметров, или степеней свободы. Эти степени свободы определяют форму и ориентацию измененного куба. Мы накладываем ограничение на изменение так, чтобы каждое множество первоначально параллельных ребер перешло в пучок косопараллельных. Мы назовем такой измененный куб косым кубом. Определяя первоначальные ребра таким образом, мы ограничиваем их возможные ориентации. Теперь возникает вопрос: существуют ли такие величины k и j, что это ограничение тождественно исчезает? Для того чтобы пойти дальше, мы вспомним, что особое значение имеют четыре типа косопараллельных пучков. Предположим, что имеются n₁ пучков, обладающих 1-ой степенью свободы. Это α- и δ- пучки, которые для нашего анализа неразличимы. Поскольку ни потенциальности, ни гипархические свойства – посредством комбинации которых обеспечивается фундаментальная тождественность – непосредственно не наблюдаемы, следует ожидать такого отсутствия различия. Далее мы предполагаем, что имеются n₂ β-пучков, каждый из которых обладает n – 2 степенями свободы. И наконец, имеются k γ- пучков, если косой куб тотально связен; каждый из них обладает λ степенями свободы, где λ = j – 1, если k = j, или λ = j, если k > j. Случай, когда k < j анализируется легко.

Теперь, каждый пучок имеет 2^{n – 1} членов, и, следовательно, пучку противоположных ребер с m степенями свободы присваивается m2^{n – 1} степеней свободы в целом на косом кубе.

Таким образом, мы имеем:

n = k + j

n = n₁ + n₂ + k (1)

n 2ⁿ = 2^n-1 (n₁ + n₂ n – 2 + kλ) + ε 2^n-1

Из чего, как легко видеть, получается:

n = k + j

j = n₁ + n₂ (2)

2n = j + n₂ n – 3 + kλ + ε

где ε равно в третьем уравнении нулю, только когда косой куб является полностью произвольным искажением исходного куба, т.е. только когда тождество соответствует максимуму различия.

Мы найдем решение для тех уравнений, в которых ε равно нулю. Если ε > 0, то искажение куба ограничено; если ε < 0, то представление не допускает полного различия косопараллельности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: