Математическое моделирование теплообменных процессов

Теплообменом называется любой процесс переноса теплоты, в котором она в соответствии со вторым началом термодинамики самопроизвольно переходит от более нагретой среды к менее нагретой.

Следует различать процессы теплообмена, осуществляемые путем непосредственного соприкосновения сред, и процессы лучистого теплообмена, при котором энергия передается от одной среды к другой посредством электромагнитного поля.

Элементарный процесс распространения теплоты только вследствие движения молекул называется теплопроводностью, а процесс, обусловленный перемещением частиц среды, – конвекцией. Перенос теплоты теплопроводностью происходит главным образом в твердых телах, так как теплопроводность жидкостей и газов невелика.

Распределение теплоты конвекцией может происходить только в жидкостях и газах. Различают два вида конвекции – свободную и вынужденную. Если движение теплоносителя возникает за счет движущих сил, вызванных перепадом температур, то конвекция называется естественной. Когда же перемещение теплоносителя происходит за счет перепада давления, создаваемого насосом, вентилятором и т.п., то конвекцию принято называть вынужденной.

В практических условиях процессы переноса теплоты характеризуются совокупностью всех трех явлений: теплопроводности, конвекции и излучения. Таким образом, процессом переноса теплоты является теплопередача.

В химической промышленности для реализации процессов теплообмена между различными средами используют разные типы теплообменных аппаратов, среди которых наиболее распространенными являются кожухотрубчатые и теплообменники типа “труба в трубе”. Процессы теплообмена в кожухотрубчатом теплообменном аппарате или аппарате “труба в трубе” как сложное физическое явление предоставляют собой совокупность ряда элементарных процессов теплообмена – теплопроводности, конвекции, излучения.

Теплообменные аппараты являются наиболее распространенными и необходимыми элементами различных технологических и энергетических установок. На теплообменники приходится значительная часть капитальных вложений и эксплуатационных расходов. Поэтому вопросы оптимального проектирования и оптимального управления теплообменом имеют большое значение, так как все это дает значительный экономический эффект.

Температурное поле

Температурным полем называется совокупность значений температур в данный момент времени во всех точках рассматриваемого пространства, занятого теплом.

Если температура поля с течением времени t изменяется, то оно называется нестационарным и описывается уравнением:

T = f(x,y,z,t), (1)

где x,y,z – координаты точки поля.

Если же температура в каждой точке поля с течением времени t, остается неизменной, то такое температурное поле называется стационарным. Температура, в этом случае, является функцией только пространственных координат

T = f(x,y,z), ¶T/¶t = 0. (2)

В каждый момент времени в температурном поле можно выделить поверхности, имеющие одинаковые температуры. Такие поверхности называются изотермическими. В стационарном температурном поле изотермические поверхности с течением времени не меняют свой вид и расположение, в то время как в нестационарном поле они со временем изменяются.

Температурный градиент

Одной из характеристик температурного поля является температурный градиент, представляющий собой вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры. На рис.4.1. изображены изотермические поверхности, температуры которых отличаются на DТ.

Рис. 1. К понятию температурного градиента

Из рисунка видно, что интенсивность изменения температуры по разным направлениям (из точки А лучи п и l) неодинакова. Наибольшая разность температур на единицу длины наблюдается в направление нормали п к изотермической поверхности в точке А, так как расстояние между соседними изотермами D n при этом меньше, чем в точке В.

Предел отношения изменения температуры D Т к расстоянию между изотермами по нормали D n, когда D n стремится к нулю, называется температурным градиентом:

grad T = lim(DT/Dn)_Dn®0 = (¶T/¶n)_no. (3)

В общем случае для различных точек одной и той же изотермической поверхности (например, для точек А и В) градиент температуры различен не только по направлению, но и по величине. За положительное направление градиента принято направление возрастания температур.

Основы теплового расчета

Несмотря на многообразие конструкций и принципов работы теплообменных аппаратов, процессы теплообмена в них подчиняются общим закономерностям, а основные положения методики их расчета могут быть рассмотрены в общей постановке.

До недавнего времени расчет теплообменных аппаратов приводился только для стационарных режимов, и при этом в основном решались две задачи:

1. Для заданных параметров на входе и выходе из аппарата и типе теплообменной поверхности определить требуемую площадь поверхности теплообмена и произвести его конструктивную разработку. Это есть проектный расчет.

2. Для реально существующего аппарата при заданных параметрах потоков на входе определить количество передаваемой теплоты и параметры потоков на выходе из аппарата. Это задача проверочного расчета.

К этим двум задачам можно добавить третью, так называемый оптимальный расчет теплообменного аппарата. Решение этой задачи возможно благодаря использованию ЭВМ. Суть этой задачи сводится к расчету оптимального теплообменника по выбранному критерию.

Тепловой расчет теплообменных аппаратов базируется на уравнениях теплового баланса и теплопередачи.

Решение нестационарных задач теплообмена возможно только при использовании математических моделей, записанных на основе моделей структуры потоков теплоносителей.

Проектный расчет теплообменного аппарата

Задачей проектного расчета является определение геометрических размеров и режима работы теплообменника, необходимого для отвода или подвода заданного количества теплоты к теплоносителю.

При проектном расчете задают:

1. Тип аппарата и общие геометрические характеристики поверхности теплообмена (размеры труб, оребрения, толщина стенок и др.).

2. Параметры теплоносителей на входе и выходе из аппарата (температура, давление и т.д.)

3. Тепловую мощность аппарата Q или расход сред.

Взаимность изменений температур теплоносителей определяется условием теплового баланса, которое для бесконечно малого элемента теплообменника имеет вид:

– G₁C_p1dT₁ = G₂C_p2dT₂. (4)

Здесь G₁, G₂, C_p1, C_P2 – расходы и теплоемкости теплоносителей 1 и 2, T₁ и Т₂ – их температуры в произвольном сечении аппарата. Уравнение теплового баланса для всего аппарата получается путем интегрирования уравнения (4.4) и имеет вид:

G_l Cp_l (T_k1–T_h1) = G₂ C_p2 (T_h2–T_k2), (5)

где Т_h1 и T_h2, T_k1 и T_k2 – начальные и конечные температуры теплоносителей.

Уравнение (4.5) содержит две неизвестные: G₁ или G₂ и T_k1 или T_k2. Следовательно, это уравнение является неопределенным. Общий прием решения этих задач заключается в использовании метода последовательных приближений, состоящего в том, что в начале принимаются определенные решения относительно конструкции аппарата и неизвестных технологических параметров, затем путем пересчета проверяется до получения результатов с желаемой степенью точности.

Проверочный расчет теплообменного аппарата

Целью проверочного расчета теплообменного аппарата заданной конструкции является определение его мощности и температур потоков на выходе Т_k1, T_k2 при заданных площадях поверхности теплообмена F, расхода сред G₁, G₂ и их температурах на входе Т_h1 и Т_h2.

Математические модели теплообменников

Обычно принимают, что движение потоков теплоносителя и хладоагента характеризуется гидродинамическими моделями идеального смешения, идеального вытеснения, ячеечной моделью ОДМ или их комбинацией.

Если гидродинамическая структура потоков в теплообменном аппарате соответствует модели идеального смешения, то во всем потоке происходит полное смешение молекул потока. В таком случае любое изменение температуры потока на входе в зону идеального смешения мгновенно распространяется по всему объему зоны.

Гидродинамическая структура потоков теплоносителя, соответствующая модели идеального смешения, имеет место в теплообменных аппаратах с изменением агрегатного состояния потоков – в конденсаторах, кипятильниках, испарителях. Уравнение, описывающее изменение температуры для теплообменника в зоне идеального смешения, имеет вид:

, (6)

где V – объем зоны идеального смешения; v – объемная скорость; Т_вх, Т – температура потока на входе и в зоне идеального смешения; С_р – теплоемкость потока; t – время.

Условие физической реализуемости модели идеального вытеснения выполняются в случае поршневого потока, когда предполагается, что в направлении его движения смещение полностью отсутствует, а в направлении, перпендикулярном движению, происходит идеальное смешение. Гидродинамическая структура потоков, соответствующая модели идеального вытеснения, характерна для движения потоков в трубном пространстве кожухотрубчатых теплообменников различных конструкций, а также для теплообменного аппарата типа «труба в трубе».

Уравнение, описывающее изменение температуры в зоне идеального вытеснения, имеет вид:

, (7)

где S_b – сечение зоны идеального вытеснения; l – координата длины аппарата.

Диффузионная модель гидродинамической структуры потоков соответствует такому движению потоков, когда в направлении его движения существует продольное смещение, а перпендикулярном направлении предполагается наличие идеального смешения.

Диффузионная модель значительно лучше, чем модель идеального вытеснения, описывает гидродинамические условия в реальных кожухотрубчатых теплообменниках. Уравнение, характеризующее изменение температуры по длине зоны, имеет вид:

, (8)

где е_т – коэффициент продольного переноса теплоты.

Температуры потоков в теплообменных аппаратах могут изменяться в каждой точке потока не только в результате его движения, но также из-за теплообмена с окружающей средой или за счет источника теплоты. Интенсивность источника теплоты записывается следующим образом:

V q_T = F*K*DT, (9)

где F – поверхность теплообмена, отнесенная к единице объема; К – коэффициент теплопередачи; DТ – разность температур.

Уравнения (4.6) и (4.7) для температур потока с учетом источника теплоты в потоке имеет вид:

;(10)

. (11)

Учитывая (4.9) и зная, что V = S*L из (4.11) получим:

или

. (12)

Аналогично для ДДМ с учетом (4.9) имеем:

. (13)

Для описания гидродинамической структуры потоков в реальных теплообменных аппаратах используются комбинированные модели движения потоков: ячеечная модель; модель идеального смешения с застойной зоной; модель идеального смешения с байпасом; последовательное соединение двух моделей МИС и МИВ. Применение таких моделей для описания гидродинамической структуры потоков позволяет описать изменение профиля температур как по длине, так и в объеме теплообменного аппарата.

Теплообменник типа «перемешивание-перемешивание»

Математическая модель такого теплообменника (рис.4.2) представляет собой систему уравнений типа (4.7), записанных для теплоносителя и хладоагента:

, (14)

где T₁ – T₂ = DT, при этом T₁ и T₂ имеют постоянные значения в каждой точке объема идеального перемешивания V₁ и V₂; Т_вх1, Т_вх2 – температуры первичного и вторичного теплоносителей на входе в аппарат; Т_к1 = Т₂ и Т_к2 = Т₂ – конечные температуры первичного и вторичного теплоносителей. Величина FK(T₁ – T₂) имеет знак «минус» в уравнении описания потока теплоносителя, который отдает тепло, и знак «плюс», если тепло воспринимается теплоносителем.

Рис. 2. Схематическое изображение теплообменника типа «перемешивание-перемешивание»

Теплообменник типа «перемешивание-вытеснение»

Математическая модель такого теплообменника (рис.4.3) включает уравнение модели идеального перемешивания для потока теплоносителя и уравнение модели идеального вытеснения для хладоагента:

;

, (15)

где DT = T₁ – T₂ при этом значения T₁ остается одинаковыми в каждой точке объема идеального перемешивания, а Т₂ изменяются по длине зоны идеального вытеснения.

Рис. 3. Схематическое изображение теплообменника типа «перемешивание - вытеснение»

Теплообменник типа «вытеснение-вытеснение»

Рассмотрим моделирование широко распространенного в химической технологии теплообменника «труба в трубе», структура потоков которого соответствует модели «вытеснение – вытеснение» (рис.3.1).

Рис.4. Схема теплообменника типа «труба в трубе»

Это так называемый прямоточный теплообменник, для которого модель имеет вид:

;

, (16)

где DT = T₁ – T₂, при этом Т₁ и Т₂ изменяются по длине соответствующих зон идеального вытеснения. Цель работы: построить математическую модель и рассчитать теплообменный аппарат с известной структурой потоков.

Постановка задачи

Задание для лабораторного практикума: при заданных параметрах горячего и холодного потоков теплообменника по подготовленной программе:

а) рассчитать его длину, необходимую для эффективного охлаждения при прямотоке и противотоке;

б) построить графики изменения температур горячего и холодного потоков по длине теплообменника.

Рассмотрим математическое описание распространенного в химической технологии теплообменного аппарата «труба в трубе» при следующих допущениях:

· структура потоков соответствует модели «вытеснение-вытеснение»;

· перенос тепла осуществляется в стационарном режиме;

· плотность, теплоемкость, теплопроводность для каждого теплоносителя постоянны;

· теплообмен с внешней средой отсутствует;

· термическое сопротивление стенки пренебрежимо мало.

Принятые допущения существенно упрощают математическое описание, позволяя перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Исходные данные для моделирования:

1) конструкционные параметры и тип теплообменника;

2) тепловая нагрузка на теплообменник (тепло горячего потока)

Q= C_р (Т⁰-Т^к), где -объемная скорость потока (расход);

3) параметры хладоагента.

Математическое описание теплообменника состоит из уравнений теплового баланса по обоим потокам:

Для прямотока

Здесь: Т и Т_х – текущие значения температур, соответственно горячего и холодного потоков, ⁰С; Х – текущее значение длины теплообменника, м; К_Т – коэффициент теплопередачи от горячего потока хладоагенту, ккал / (м² час); F = π^. d – поверхность теплообмена на единицу длины, м²; d – диаметр внутренней трубы, м; V, V_x – объемные скорости горячего и холодного потоков, м³/с; С_p, C_px – теплоемкость горячего и холодного потоков, ккал / (кг ^{. 0}С); , - плотности горячего и холодного потоков, кг/м³.

Начальные условия:

Х = 0 Т _Х=0 = Т⁰

Т = Т⁰ или

Т_х = Т_х⁰ Т_{Х Х=0} = Т_х⁰

Здесь: Т⁰, Т_х⁰ - начальные значения температур горячего и холодного потоков, соответственно

Для противотока

Краевые условия:

Х = 0 Т _Х=0 = Т⁰

Т = Т⁰ или

Т_х = Т_х^К Т_{Х Х=L} = Т_х⁰

Краевые условия получены из уравнения теплового баланса:

(Т⁰- Т^К) = V_{x х} (Т_x^K- Т_x⁰), откуда получаем формулу для расчета конечной температуры холодного потока:

Т_х^К = Т_х⁰ + (Т⁰- Т^K)

Тепловой баланс теплообменника:

для прямотока

d_X

ρ, Ср, V, Tº Tº Tº+ dT ρ, Ср, V, T^K

ρ_x, Cp_X, V_X,T_Xº T_X T_X+dT_X ρ_x, Cp_X, V_X,T_X^K

для горячего потока

ρ·Cp·V·T - ρ·Cp·V(T+dT) + K_T·πd(T_X-T)d_X =0

ρ·Cp·V·T - ρ·Cp·V·T - ρ·Cp·V·Dt + K_T·πd(T_X-T)d_X =0

для холодного потока

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X - ρ_X·Cp_X·V_X(T_X+dT_X) + K_T·πd(T-T_X)d_X =0

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X - ρ_X·Cp_X·V_X(T_X+dT_X) + K_T·πd(T-T_X)d_X =0

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X - ρ_X·Cp_X·V_X·T_X - ρ_X·Cp_X·V_X·dT_X + K_T·πd(T-T_X)d_X =0

Для движущей силы: в случае горячего потока внешней является

ТХ; а в случае холодного потока – внешней является Т

ρ·Cp·V·T – количество тепла, вносимого потоком V в элементарный объем dV внутренней трубы

ρ·Cp·V(T+dT) – количество тепла, уносимого потоком V и элемен­тарный объем dV внутренней трубы

q= K_T·πd(T_X-T)d_X - количество тепла, переданного за счет теплопередачи через поверхность S=πdd_X внутренней трубы

Для противотока

d_X

ρ, Ср, V, Tº T T+ dT ρ, Ср, V, T^K

ρ_x, Cp_X, V_X,T_X^K T_X T_X+dT_X ρ_x, Cp_X, V_X,T_Xº

для горячего потока

ρ·Cp·V·T - ρ·Cp·V(T+dT) + K_T·πd(T_X-T)d_X =0

ρ·Cp·V·T - ρ·Cp·V·T - ρ·Cp·V·Dt + K_T·πd(T_X-T)d_X =0

для холодного потока

ρ_X·Cp_X·V_X(T_X+dT_X) - ρ_X·Cp_X·V_X·T_X + K_T·πd(T-T_X)d_X =0

ρ_X·Cp_X·V_X·T_X - ρ_X·Cp_X·V_X·T_X + ρ_X·Cp_X·V_X·dT_X + K_T·πd(T-T_X)d_X =0

а) прямоток:

d_X

ρ, Ср, V, Tº Tº q Tº+ dT ρ, Ср, V, T^K

d

ρ_x, Cp_X, V_X,T_Xº T_X T_X+dT_X ρ_x, Cp_X, V_X,T_X^K

б) противоток:

d_X

ρ, Ср, V, Tº T q T+ dT ρ, Ср, V, T^K

d

ρ_x, Cp_X, V_X,T_X^K T_X T_X+dT_X ρ_x, Cp_X, V_X,T_Xº

Варианты заданий для расчета теплообменника

Лекция 4

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: