Числа обусловленности

Рассмотрим некоторые особенности, которые могут возникнуть при численном решении систем линейных алгебраических уравнений на компьютере. Если матрица невырожденная, т.е. ее определитель и существует обратная матрица, тогда решение системы (1..1) можно представить в виде .

В математике считается, что задача поставлена корректно, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от параметров. Последнее свойство называется также устойчивостью относительно входных данных, в нашем случае, от элементов матрицы и коэффициентов правой части

Метод исключения Гаусса относится к прямым методам, дающим точное решение за конечное число действий. Однако при вычислениях на ЭВМ неизбежно вносятся погрешности, и точное решение почти никогда не достигается. Интуитивно понятно, что точность вычислений зависит от вида матрицы и ее порядка n. Так, если определитель матрицы близок к нулю , могу возникать большие погрешности. В таких случаях говорят, что система плохо обусловлена. Для системы из двух уравнений можно дать геометрическую иллюстрацию плохой обусловленности. В этом случае прямые, описываемые уравнениями, почти параллельны и координаты их точки пересечения очень чувствительны к изменениям входных данных.

Для количественного анализа указанной проблемы вводятся определенные математические характеристики, с некоторыми из которых познакомимся в данной работе. Это позволит нам грамотно выбирать вычислительные алгоритмы, правильно анализировать полученные результаты, обоснованно судить о корректности используемых моделей.

Введем два вектора погрешностей:

1. абсолютной ошибки

(1.18)

2. невязки

(1.19)

где - точное решение системы (1.1), - вычисленное на компьютере. Невязкой называют количественную меру соответствия между правыми и левыми частями системы уравнений при подстановке в них

Специалисты по матричным вычислениям утверждают, что метод исключения Гаусса с выбором ведущего элемента гарантирует малые невязки. Однако это еще не означает, что при этом будет мал вектор абсолютной ошибки Обсудим подробнее это вопрос. Но сначала введем еще одно понятие - понятие нормы вектора и матрицы.

Если числа сравнивают по их модулю, то для сравнения векторов в математике вводится понятие нормы вектора, обозначаемой символом Норма вектора – неотрицательное действительное число, по смыслу соответствующее длине вектора. Пространство с введенной в нем нормой называется нормированным или метрическим, поскольку норма определяет метрику, т.е. расстояние между элементами пространства

Приведем некоторые наиболее употребительные нормы для вектора :

1. норма суммы модулей (1-норма или «манхэттенская» норма):

(1.20)

2. эвклидова норма (2-норма):

(1.21)

3. норма максимума модуля ( -норма):

(1.22)

Внешне различные, эти нормы эквивалентны. Выбор той или иной из них в практических задачах диктуется требованиями, предъявляемые к точности решения. Так, выбор евклидовой нормы соответствует критерию малости среднеквадратичной ошибки. Однако применение этой нормы к исследованию линейных уравнений ведет к избыточным вычислениям, чаще в таких задачах используется 1-норма.

Аналогично вводятся нормы матрицы :

1. норма суммы модулей (1-норма или «манхэттенская» норма):

(1.23)

2. эвклидова норма (2-норма):

(1.24)

3. норма максимума модуля ( -норма):

(1.25)

При расчетах на компьютере предпочтительнее использовать относительные погрешности, которые выразим через нормы

; (1.26)

Для характеристики чувствительности систем линейных уравнений к погрешностям вводятся числа обусловленности (от английского conditioned - обусловленность) системы и матрицы . Эти числа показывают, насколько чувствительно решение к изменениям во входных данных. Даже при малой невязке, большие значения числа обусловленности приводят к значительным ошибкам в решении. Матрицы, у которых велико значение числа обусловленности, называются плохо обусловленными.

Число обусловленности системы

(1.27)

которое зависит от вектора правой части системы.

Число обусловленности матрицы есть максимальное по всем векторам b значение

(1.28)

Чем ближе к нулю определитель матрицы , тем больше число обусловленности, и тем сильнее погрешность правой части искажает искомое решение

(1.29)

Другое практическое применение числа обусловленности состоит в том, что значение десятичного логарифма этого числа приблизительно равно числу значащих цифр, теряемых при решении системы линейных алгебраических уравнений (1.1). Действительно, если , а исходные данные имеют погрешность в n-ом знаке после запятой, то независимо от способа решения системы (1.1), в полученном результате можно гарантировать только не более (n-p) знаков после запятой.

Число обусловленности не связано с вычислительным алгоритмом, оно характеризует внутренние свойства исходной системы. Приведенная ниже оценка (1.28) не учитывает ни погрешности метода, ни погрешности вычислительного процесса, фактически это оценка погрешности математической модели.

Что делать, если величина числа обусловленности велика и погрешность получаемого решения не удовлетворяет заданной точности вычислений? В этом случае необходимо обратиться к постановке той задачи, которая привела к решению такой системы: учесть дополнительную информацию, провести ещё измерения с более высокой точностью и т.д. Более глубокое изложение этих вопросов можно найти в книгах, ссылки на некоторые из которых приведены ниже.

Необходимо:

• произвести вычисления всех норм матрицы А и вектора b в пакетах Excel и Mathcad;

• составить подпрограммы вычисления норм вектора и матрицы. Провести тестовые расчеты. Написать подпрограммы, позволяющие вычислять абсолютные и относительные ошибки, невязки, числа обусловленности. Выполнить тестовые расчеты.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: