Итерационные методы решения

Систем линейных алгебраических уравнений

Введение

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений, рассмотренные нами в предыдущей работе, относятся к так называемым прямым методам, позволяющим получать решение после выполнения заранее известного числа операций. Одним из существенных недостатков прямых методов является возможность накапливания погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Кроме того, обычно в этих методах не учитывается структура матриц и зачастую приходится выполнять много лишних операций с нулевыми элементами при работе с ленточными, клеточными и другими типами разряженных матриц.

Альтернативой прямым методам являются итерационные или. методы последовательных приближений, в которых задается начальное приближение, а затем с помощью некоторого алгоритма, уточняющего решение, проводится цикл вычислений, называемых итерацией. В результате итерации находятся новые значения неизвестных. Таким образом, строится последовательность приближений , которая сходится к точному решению системы . Эффективность этих методов определяется скоростью сходимости. Положительным свойством итерационных методов является то, что погрешность в них не накапливается, поскольку точность вычислений в каждом приближении определяется лишь результатом на предыдущем шаге. Это позволяет использовать их для решения систем с большим числом уравнений, а так же при работе с плохо обусловленными матрицами, которые, как известно, сверхчувствительны к погрешностям. Кроме того, итерационные методы эффективны при работе с разреженными системами, поскольку не требуют хранения в памяти компьютера сразу всех элементов матрицы.

Часто итерационные методы используются в сочетании с прямыми для уточнения решений. Такие смешанные алгоритмы на практике достаточно эффективны.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: