Метод Якоби для решения СЛАУ

Для решения системы (1.1) итерационным методом, преобразуем ее к виду:

Эти преобразования для i-го компонента запишем так:

(2.1)

Зададим произвольное начальное приближение для неизвестных, например, положив их равными или . Затем подставим эти значения в правую часть соотношения (2.1), в результате получим первое приближение для неизвестных

Продолжая этот итерационный процесс, получим рекуррентное соотношение метода Якоби (или метода простых итераций):

(2.2)

Обсудим подробнее формулу преобразований (2.1) исходной системы (1.1). Для этого удобней перейти к матричной форме записи. Представим матрицу в виде суммы трех матриц

(2.3)

где - диагональная матрица с той же главной диагональю, - нижняя треугольная, -

верхняя треугольная матрицы, в которых на диагоналях расположены нули. Нетрудно показать, что

С одной стороны, если вектор абсолютных отклонений, а - вектор невязок, то рекуррентное соотношение (2.2) метода Якоби можно представить в виде:

(2.4)

С другой стороны, преобразование системы от вида (1.1) к (2.2) можно записать так

(2.5)

где , . Нетрудно заметить, что обратной к диагональной матрице является матрица с элементами диагонали .

В учебниках по численным методам доказывается, что если какая-либо из норм матрицы меньше единицы:

(2.6)

то итерационный процесс сходится к точному решению системы при любом выборе начального приближения .

Достаточным условием сходимости итерационного процесса является условие преобладания по модулю диагональных элементов в исходной матрице :

(2.7)

при этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго. Достаточность означает, что для некоторых систем итерационный процесс может сходиться и при нарушении условия (2.7).

И еще остановимся немного на способах завершения итерационного процесса. Это можно сделать по критерию малости абсолютных отклонений:

, (2.8)

относительных разностей:

(2.9)

или невязок:

, (2.10)

где - наперед заданная малая величина.

Реализацию метода Якоби можно провести в Excel. Рассмотрим методику на примере системы .

В качестве начального значения взято . Заданная точность =0,00001. Дальнейшее вычисление приведем в виде таблицы.

Таблица 2.1. Вспомогательная таблица для вычисления корней системы методом Якоби.

В пакете Mathcad реализация метода Якоби для рассмотренной системы будет выглядеть следующим образом. Для начала приведем эту систему к нормальному виду

Дальнейшая реализация приведена в пакете Mathcad.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: