Линейная аппроксимация

Пусть

(5.3)

Минимум функционала

(5.4)

находится из условия равенства нулю частных производных по параметрам а₀ и а₁:

(5.5)

(5.6)

Используя свойство дистрибутивности суммы, после несложных преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а₀ и а₁:

Вводя обозначения для средних величин

(5.9) (5.10)

запишем решения системы (5.7), (5.8) в виде:

(5.11)

(5.12)

Полученные соотношения легко программируются. Разработайте программу решения данной задачи.

Заметим, что в знаменателе выражений (5.11), (5.12) присутствует величина:

(5.13)

называемая дисперсией и характеризующая разброс экспериментальных данных вокруг среднего значения <х>. Аналогично, вычисляется дисперсия:

(5.14)

Чтобы проверить, насколько линейная аппроксимирующая функция (5.3) соответствует исходным данным, необходимо вычислить среднеквадратичное отклонение:

(5.15)

и сравнить его с известной суммарной погрешностью эксперимента ε. Если эти величины одного порядка S ≈ ε, то считается, что аппроксимирующая функция выбрана правильно.

Другой метод проверки, насколько линейная функция соответствует исходным данным, состоит в вычислении, так называемого коэффициента корреляции:

(5.16)

Чем ближе значение этого коэффициента по модулю к единице, тем лучше подходит линейная аппроксимация. На практике обычно 0,75£|r|£1.

Дополнить разработанную Вами программу сделанными выше замечаниями.

Если экспериментальные данные получены с разными ошибками у_к ± s_к, где s_к–ошибка отдельного измерения, то целесообразно вводить понятие веса каждой экспериментальной точки _к = 1/s_к. Чем меньше ошибка, тем больше все точки и тем она важнее. Метод наименьших квадратов допускает простое обобщение на этот случай. Вводится понятие средневзвешенных величин áхñ= и т. д., а функционал преобразуется к виду:

– min. (5.17)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: