Етапи економіко-математичне моделювання 5 страница

Перша з цих умов означає, що перетворення Т величини сх (де с = const) рівнозначне перетворенню Т величини х з подальшим множенням результату на сталу с, а отже, цю сталуможна винести за знак оператора.

Інша умова означає, що лінійні оператори мають властивість адитивності — перетворення суми величин х і y рівнозначне сумі того самого перетворення величини х і величини y.

Найпростіший лінійний оператор — оператор пропорційного перетворення, який перетворює стан входу х на стан виходу у за допомогою множення стану входу на деяке дійсне число: y = kx,де k = const. Стала k називається коефіцієнтом перетворення. Зауважимо, що стала k не є оператором пропорційного перетворення, оскільки в даному разі оператор — це правило: «помножити х на k».

До основних лінійних операторів належать:

1. Оператор пропорційного перетворення або оператор пропорційності. Його дія полягає у множенні стану входу х на стале дійсне число.

2. Оператор диференціювання. Якщо стан входу х є непе-
рервною функцією деякого параметра t, тобто x = f (t), то цей оператор означає, що для досягнення визначеного стану виходу необхідно продиференціювати функцію f (t), тобто визначити похід­ну цієї функції. Оператор диференціювання позначається d / dt
або символом D. З диференціального числення відомо, що при відшуканні похідної виконуються умови лінійності перетворення, оскільки Dcx = cDx і D (x + у) = Dx + Dу.

3. Оператор (невизначеного) інтегрування, дія якого полягає в тому, що стан виходу визначається як первісна (інтеграл) стану входу x = f (t). Цей оператор позначається символом невизначеного інтеграла (чи символом D ¹,оскільки інтегрування є оператором, оберненим до диференціювання). Це лінійний оператор, оскільки сталу можна винести за знак інтеграла, і, крім того, інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.

4. Різницевий оператор, який позначається символом D. Його дія полягає ось у чому. Якщо множину можливих значень станів входу системи можна подати у вигляді ряду х ₁, х ₂,..., х_п, то оператор D перетворить стан входу х_i на різницю х_{i +1} – х_i, або D х_i = х_{i +1} – х_i. Цей оператор також є лінійним, оскільки

D cx_i = cx_{i +1} – cx_i = c (х_{i +1} – х_i) = c D х_i ;

D(х_i + у_i) = х_{i +1} + у_{i +1} – х_i – у_i = D х_i + D у_i .

5. Оператор підсумовування позначається символом å. Його дія полягає в підсумовуванні станів входу за деяким індексом i.

6. Оператор правого зсуву (випередження), що позначається символом Е. Якщо множину можливих значень входу системи можна подати у вигляді ряду х ₁, х ₂,..., х_п, то оператор Е перетворить стан входу х_i на стан виходу у = x_{i +1}. Отже, Eх_i = х_{i +1}.

7. Оператор лівого зсуву (запізнювання) аналогічний оператору випередження, але стан входу х_i тут перетвориться в стан виходу x_{i –1}. Якщо позначити його через Е ^–1, то E ^–1 х_i = х_{i –1}. Неваж­ко переконатися, що три останніх оператори також лінійні.

У техніці ці оператори мають такі відповідно назви: пропорційний перетворювач (залежно від призначення — підсилювач чи послаблювач), диференціатор, інтегратор, пристрій виперед­ження чи затримки.

Розглянемо основні алгебраїчні дії, які можна виконувати з операторами перетворення.

Сумою двох операторів називається вираз:

(Т ₁ + Т ₂) х = Т ₁ х + T ₂ x.

Це означає, що сума операторів T ₁ і Т ₂, застосованих до х, приводить до того самого результату, що й застосування до х спочатку оператора T ₁, а потім оператора Т ₂ з наступним додаванням здобутих результатів. Аналогічно визначається різниця двох операторів.

Добуток двох операторів визначається рівністю:

T ₂ T ₁ x = T ₂ (T ₁ x),

яка означає, що застосування до х добутку операторів Т ₁ і Т ₂ полягає в послідовному перетворенні х за допомогою T ₁, а потім — у перетворенні здобутого результату оператором T ₂.

Зауважимо, що добуток операторів не обов’язково є комутатив­ним. Тому перетворення х спочатку за допомогою оператора T ₁, а потім за допомогою оператора Т ₂ може дати інший результат, ніж перетворення, виконані у зворотному порядку.

За означенням n - а степінь оператора Тⁿ, де п — натуральне число, є n-кратний добуток (повторення) того самого перетворення:

Tⁿx = T (T^{n –1} x).

Символом Т ^–1 позначається обернений оператор. Зміст цього оператора полягає в тому, що коли Т є оператором перетворення х на у, то Т ^–1 є оператором перетворення у на х: якщо y = Тх, то
х = Т ^–1 у.

Визначення оператора Т ^–1 дає змогу подати відношення операторів:

Введемо поняття тотожного перетворення, оператор якого позначимо через Т ⁰ або через І. У разі тотожного перетворення величина х перетворюється на ту ж величину х: Т ⁰ = Іх = х. Якщо
перетворення пропорційне, то І є оператором перетворення, дія якого полягає у множенні на 1 (І = 1).

З означення оберненого оператора випливає, що

Т Т ^–1 = Т ^–1 Т = Т ⁰ = І.

Означені щойно дії з операторами дають змогу одні з розглянутих основних лінійних операторів виражати через інші. Наприклад, оператор (невизначеного) інтегрування можна замінити оператором, оберненим до оператора диференціювання; оператор випередження тотожний оператору, оберненому до оператора запізнювання тощо.

Різницевий оператор D можна подати за допомогою оператора випередження Е. Справді:

D х_i = x_{і +1} – x_і = Ex_i – x_i = (E – 1) x_i

і, отже, D º Е – 1 (різницевий оператор тотожний різниці між оператором випередження та оператором тотожного перетворення).

Оператор підсумовування також можна подати за допомогою оператора випередження:

.

Отже, сім основних лінійних операторів можна подати за допомогою комбінації лише трьох елементарних лінійних операторів: оператора пропорційності, оператора диференціювання та оператора правого зсуву (випередження).

Доведемо тепер, що основна формула теорії регулювання справджується для будь-яких перетворень, що відбуваються в регульованій системі та у регуляторі (за умови лінійності операторів).

Припустимо, що в регульованій системі відбувається довільне перетворення y = Sx, де оператор перетворення S є лінійним. У регуляторі за допомогою зворотного зв’язку до системи підім­кнено регулятор, в якому відбувається перетворення D x = Ry, де R — також довільний лінійний оператор. Отже, дістанемо систему регулювання, в якій відбувається таке перетворення:

у = S (х + D x) = S (х + Ry).

Оскільки оператори S і R лінійні, то виконується співвідношення

у = S (х + Ry) = Sx + SRy, y – SRy = Sx.

Звідси випливає, що (I – SR) y = Sx, і, оскільки I = 1, дістанемо основну формулу теорії регулювання:

,

яка виконується, якщо оператори лінійні.

Таким чином, операторне числення є дуже зручним засобом дослідження систем регулювання, адже над операторами можна виконувати алгебраїчні дії та діставати формули за аналогією з діями над числами.

36. Кібернетична інтерпретація дій з операторами

Відповідно до визначених основних дій з операторами розглянемо, як визначаються складні оператори для систем за різних типів з’єднань блоків та підсистем.

Розглянемо ситуацію, коли деякий стан х характеризує загальний вхід двох систем із лінійними операторами Т ₁ і Т ₂, а результатом перетворення стану х є два стани виходів відповідних систем у ₁
і y ₂, що підсумовуються. Здобуту суму позначимо через у. Таке з’єднання двох систем називається паралельним (рис. 11.2, а).

Рис. 11.2. Паралельне (а), послідовне (б)
та зворотне (в) з’єднання систем

У даному випадку операторні формули мають вигляд: y ₁ = T ₁ x,
у ₂ = Т ₂ x, звідки

y = y ₁ + y ₂= T ₁ x + T ₂ x = (T ₁ + T ₂) x.

Результат такої дії можна подати за допомогою одного перетворення у = Тх, де T = T ₁ + T ₂.

Звідси випливає таке твердження: оператор перетворення,
в якому дві системи з ’ єднані паралельно, дорівнює сумі операторів окремих систем.

Це правило можна узагальнити методом індукції на скінчену або злічену кількість паралельно з’єднаних систем.

Розглянемо тепер послідовний зв’язок (послідовне з ’ єднання) двох систем з лінійними операторами Т ₁ і Т ₂ (рис. 11.2, б). У разі послідовного з’єднання стан виходу однієї системи є станом входу іншої. Тоді y ₁ = T ₁ x та y = Т ₂ у. Підставляючи перше перетворення замість y ₁ у формулу другого перетворення, дістаємо y = T ₂ T ₁ x — перетворення, рівносильне одному перетворенню y = Тх, оператор якого T = T ₂ T ₁.

Отже, оператор, що відповідає послідовному з ’ єднанню двох систем, дорівнює добутку операторів цих систем. Сформульований висновок методом індукції можна також поширити на довільну (скінченну або зліченну) кількість послідовно з’єднаних систем. У техніці послідовне з’єднання низки систем часто називається каскадом.

Оскільки лінійним операторам можна поставити у відповідність «пропускну здатність» (абсолютне значення) відповідних перетворень, то наведені щойно два правила можна сформулювати інакше:

· сукупна пропускна здатність систем, з’єднаних паралельно, дорівнює сумі пропускних здатностей цих систем;

· сукупна пропускна здатність систем, з’єднаних послідовно, дорівнює добутку пропускних здатностей цих систем.

Розглянемо третій тип з’єднання, який має важливе значення в кібернетичних системах — зворотний зв ’ язок (рис. 11.2, в). Позначивши перетворення у двох системах, з’єднаних зворотним зв’язком, через у = Т ₁ х і D х = Т ₂ у, дістанемо відому вже формулу:

.

Це співвідношення рівносильне перетворенню y = Tx, де T = T ₁ / (1 – T ₁ T ₂). Отже, з’єднання двох систем за допомогою зворотного зв’язку приводить до того, що оператор першої системи Т ₁ множиться на 1 / (1 – T ₁ T ₂). Цей останній «співмножник» і є оператором зворотного зв ’ язку. У разі, коли Т ₁ і Т ₂ пропорційні до перетворення, цей оператор рівносильний згадуваному вже коефіцієнту зворотного зв’язку.

Розглянемо два складніших випадки з’єднання систем. У першому випадку припустимо, що існує регульована система, якій відповідає оператор S та з’єднані з нею паралельно дві системи зворотного зв’язку або два регулятори з операторами відповідно R ₁ і R ₂ (рис. 11.3, а).

Рис. 11.3. Схема паралельного (а) та послідовного (б)
з’єднання контурів регулювання

Сумарний результат дії цієї системи регулювання можна записати у вигляді одного перетворення у = Тх. Позначимо через D₁ x і D₂ x стани виходів відповідно першого та другого регуляторів. Тоді, врахувавши, що D₁ x = R ₁ y та D₂ x = R ₂ y, дістанемо:

y = S (x + D₁ x + D₂ x) = S (x + R ₁ y + R ₂ y) = Sx + SR ₁ y + SR ₂ y.

Звідси знаходимо стан виходу:

Отже, в даному випадку результуючий оператор усієї системи регулювання є T = (1 – S (R ₁ + R ₂))^–1 S. Здобутий результат аналогічний тому, який дістали б, замінивши два паралельно з’єднаних регулятори одним регулятором з оператором R = R ₁ + R ₂. Це означає, що замість двох паралельно з’єднаних регуляторів можна поставити один, пропускна здатність якого дорівнює сумі пропускних здатностей окремих регуляторів. Цей висновок можна поширити на довільну скінченну або зліченну кількість регуляторів, з’єдна­них паралельно.

У другому випадку припустимо, що система регулювання складається з двох регульованих систем, з’єднаних між собою по­слідовно, з операторами відповідно S ₁ і S ₂, причому кожна з цих систем обладнана регуляторами зворотного зв’язку з операторами відповідно R ₁ і R ₂ (рис. 11.3, б).

Стан входу першої системи позначимо через х ₁, виходу — через y ₁, стан виходу другої системи — через y.

Сумарний результат роботи такої системи запишемо у вигляді одного перетворення y = Tx. Згідно зі здобутими щойно висновками дістаємо:

і .

Тому можемо записати:

Звідси маємо результуючий оператор розглянутої системи регулювання:

.

Наведемо кібернетичну інтерпретацію оператора оберненого перетворення Т ^–1. Таке перетворення означає, що коли y = Tx, то х = T ^–1 y.

Аналогічно можна довести, що нульове перетворення у =
= (Т – Т) х = 0 — це результат паралельного з’єднання систе-
ми з оператором Т та системи з оператором (– Т), а оператор
(– Т) — результат послідовного з’єднання системи з оператором Т та системи з оператором пропорційного перетворення
(–1).

Розглянуті приклади складних систем можна застосувати до розв’язування конкретних економічних задач. Так, національний дохід y, що дорівнює загальній сумі виплат в економіці, розкладемо на три складові: y = с + I + А, де с — споживання; I — індуковані (чи вторинні) інвестиції, обсяг яких залежить від розміру національного доходу; A — незалежні капіталовкладення, обсяг яких не залежить від національного доходу.

Припустимо далі, що с = c ₁ Y і I = c ₂ Y, причому коефіцієнт споживання 0 < c ₁ < 1, а коефіцієнт індукованих капіталовкладень 0 < c ₂ < 1; окрім того, c ₁ + c ₂ < l. Тоді дістанемо Y = c ₁ Y +
+ c ₂ Y + A, звідки

Отже, оператор перетворення у = ТА, що відбувається в роз-
глянутій складній системі, набирає вигляду T = 1 / (1 – (c ₁ + c ₂)). Цей вираз — розгорнута форма мультиплікатора Кейнса.

У першій регульованій системі та відповідному їй регуляторі відбувається перетворення В ₁ = с ₁ Y ₁ + A, тобто Y = (1 /1 – с ₂) A. Нехай ця система позначає країну, що одержує зов­нішню позику в розмірі с ₂ Y ₁, тобто в розмірі, пропорційному до виробленого в ній національному доходу. Цей додатковий фак­тор (зовнішня позика) зумовлює перетворення, здійснюване у дру­гій регульованій системі та в її регуляторі: Y = Y ₁ + c ₂ Y, звідки

.

Отже, підставляючи вираз для Y ₁, остаточно дістаємо:

.

Таким чином, результуючий оператор розглянутої складної системи є добутком мультиплікаторів обох послідовно з’єднаних систем регулювання.

З проведеного аналізу можна зробити такі висновки. Кібернетична інтерпретація дій з операторами, що відповідають різного роду з’єднанням, дає змогу обчислити результуючий оператор дії цілого комплексу систем. Звідси випливає, що кожна система, оператор якої можна подати у вигляді суми, різниці, добутку або відношення інших операторів, становить комплекс систем, якось з’єднаних між собою.

Системи, в яких відбувається перетворення за допомогою еле­ментарних перетворень або обернених до них операторів, називаються елементарнимисистемами, або елементами.

Тому всі системи являють собою або елемент, або комплекс елементів, певним чином з’єднаних між собою, оскільки кожну алгебраїчну дію з елементарними операторами можна тлумачити як відповідне з’єднання елементів.

37. Застосування принципів теорії автоматичного управління (ТАУ) в економіці

Теорія автоматичного управління (регулювання) широко застосовується в управлінні складними технічними системами, зокрема технологічними процесами. Економічні системи управління відрізняються від технічних більшою складністю, нелінійністю, наявністю численних прямих і зворотних зв’язків, інтенсивністю інформаційних потоків, багатокомпонентністю, стохастичністю, і тому, зрозуміло, моделі автоматичного регулювання недо-
статньо адекватні реальним економічним процесам та явищам. Але загальні ідеї ТАУ, а часто і спільні математичні закони можуть бути корисними під час аналізу економічних явищ.

Застосування принципів ТАУ під час дослідження економічних систем можна здійснювати в кількох напрямках.

Напрямок перший. Моделі ТАУ можна інтерпретувати в термінах економічних систем, використовуючи таку інтерпретацію для виявлення структури та контурів взаємодії окремих підсистем. Такі моделі дають змогу виявляти важкоспостережувані канали інформаційних взаємодій в економіці.

Напрямок другий пов’язаний із застосуванням принципів зворотних зв’язків в управлінні економічними системами та побудовою таких механізмів регулювання, які б забезпечили стійке й ефективне функціонування економічних систем в умовах зміни зовнішнього середовища.

Напрямок третій. Застосування принципів ТАУ в економіці пов’язаний з тим, що незалежно від свідомої діяльності людей на функ­ціонування економіки впливають такі механізми регулювання,
яким притаманні риси автоматизму. Але, на відміну від технічної кібернетики, в економіці замість терміна «автоматичне регулювання» використовується термін саморегуляція, який означає самостійне реагування економічної системи на зовнішні збурювальні впливи.

Деякі приклади інтерпретації економічних явищ за допомогою ТАУ було наведено у двох попередніх підрозділах.

Подамо загальні міркування про використання ТАУ для з’ясу­вання інформаційних потоків в економічних системах. Економічні процеси внаслідок своєї об’єктивної природи завжди являють собою процеси керовані. Тому економічні системи, що їх відбивають, розглядаються в більшості досліджень і розробок як кібернетичні системи, тобто з позицій дослідження управління як процесу переробки інформації.

Саме з розгляду властивостей і особливостей управління в економіці випливають всі вимоги до економічної інформації: до її змісту, кількості, класифікації, режимів обробки та форм подання. Економічна інформація взагалі існує лише остільки, оскільки вона забезпечує управління в економіці. Економічна інформація — це все те, що потрібно знати для здійснення управління та розв’я­зання конкретних задач управління в економіці, тобто відомості про об’єкти, середовище, цілі, дії, способи досягнення цілей тощо.

Чимало об’єктів, що розглядаються як системи, мають вельми складні властивості, наприклад складне (неоднозначне) повод­ження, складну мету і т. ін. Більшість таких властивостей характерна для економічних систем.

Саме з огляду на складність задачі, що постають для таких систем, доцільно скористатися тут найпростішою з кібернетичних моделей — стандартною моделлю автоматичного регулювання. Як уже зазначалося, застосування моделей такого типу до дослід­ження економічних систем викликає певні заперечення, оскільки моделі автоматичного регулювання, призначені для опису простіших технічних систем та механічних агрегатів, безумовно, недостатньо достовірно відображають набагато складніші економічні процеси і явища. Проте ми скористаємося такою моделлю тільки на концептуальному рівні, щоб виявити деякі важкоспостережувані канали інформації в економіці та суспільстві.

Візьмемо стандартну схему автоматичного регулювання (рис. 11.4). Об’єкт управління (ОУ) конкретно інтерпретується залежно від розглядуваної економічної системи будь-якого рівня. Це може бути виробничий або інший агрегат, підприємство, галузь, економічні суспільні відносини, економіка в цілому. Регулятор, або пристрій управління (ПУ), також набуває відповідного сенсу в даній системі: робітник-оператор; орган управління; комплекс актів економічного законодавства; уся система управління економікою тощо.

Рис. 11.4. Схема автоматичного регулювання

Передаючи командну інформацію, регулятор змінює поводження регульованого об’єкта. Команди виробляються відповідно до «статутного» настроювання регулятора, що може інтерпретуватися як мета управління. Настроювання приладу автоматичного регулювання виконує оператор, а мету управління вводить у систему задавальний блок (ЗБ).

Блок контролю (БК) реєструє поводження об’єкта, що є первинним джерелом інформації зворотного зв’язку. Блок порівняння (БП) оцінює напрями та розміри відхилень поводження об’єкта від заданого блоком регулювання, переробляючи й перетворюючи інформацію зворотного зв’язку. Блоки БК і БП в економічних системах інтерпретуються як системи контролю, обліку, статистики. Перероблена інформація зворотного зв’язку надходить до регулятора для вироблення нових команд.

Інформаційне кільце буде простим контуром регулювання. Контур управління (розімкнений) охоплює і блок ЗБ, тобто мету управління та критерій його ефективності.

Ця схема обминає питання про те, яким має бути настроювання регулятора, тобто звідки у процесі управління беруться цілі й критерії регулювання. І це природно, оскільки воно взагалі не є предметом розгляду теорії автоматичного регулювання. Застосовуючи цю схему до вивчення економічних систем, необхідно брати до уваги їхній ієрархічний характер, розвиваючи схему регулювання до великої системи. Цільова установка для кожного економічного об’єкта задається ззовні з боку його надсистеми.

Другий тип контурів регулювання — їх називають економічними важелями управління — має універсальний характер. Це пев­ні законодавчі положення стосовно відрахувань прибутків до фонду підприємства, щодо заходів з матеріального і морального заохочення підприємства загалом і кожного члена його колективу в результатах роботи. Взаємодією цих універсальних контурів регулювання і визначаються власні інтереси колективів підприємств, виробничих об’єднань, галузей народного господарства. Як «вбудовані регулятори економіки» їх інтенсивно досліджує економетрика.

38. Методи прийняття управлінських рішень

У загальному випадку процес управління економічними системами складається з таких етапів: збору інформації, вибору рішення та здійснення (прийняття) рішення. Ці етапи циклічно повторюються, при цьому на кожному наступному кроці оцінюється якість управління (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Загальна схема процесу прийняття рішень

Оцінюючи якість управління, за критерій беруть міру досягнення поставленої цілі. Проте можливі й інші критерії, пов’язані з вибором траєкторії руху до досягнення заданої цілі. Критерієм ефективності в такому разі може бути максимальна швидкодія або мінімальні витрати ресурсів для досягнення цілі. Нарешті, критерієм ефективності системи управління може виступати точність, з якою вона веде об’єкт за вибраною траєкторією. Для цього з’ясовують чи не виходять відхилення (які все одно неминучі) за припустимі межі.

СУ на основі обробки та аналізу інформації про об’єкт управління приймає відповідні рішення або подає деякі розпорядження щодо бажаних подальших дій (плани, інструкції, накази, комплекс фізичних керуючих впливів тощо). Прийняття рішення завжди полягає у виборі деякої альтернативи з множини припустимих варіантів. Цей процес вибору, що охоплює і розробку альтернатив, називається процесом прийняття рішень.

І хоча в теорії управління не існує універсальних методів для відшукання оптимального (у деякому сенсі) управління, у її рамках здобуто важливі результати для деяких класів детермінованих і стохастичних систем

Процеси прийняття рішень в економіці базуються передусім на використанні евристичних методів, а останні, у свою чергу, ґрунтуються на застосуванні правил, прийомів, спрощень, що узагальнюють відповідний досвід особи, яка приймає рішення (ОПР). Евристичні міркування — це попередні судження, спрямовані на пошук такого розв’язку задачі, який характеризується більшою або меншою мірою вірогідності.

Окрім цього, здійснювати вибір ефективних рішень допомагає застосування деяких спеціальних методів, таких як системний аналіз, дослідження операцій, мережний аналіз тощо. Ці методи доволі ефективні для розв’язування багатьох управлінських та виробничих проблем.

У процесі прийняття рішення можна виокремити кілька етапів. Основу прийняття рішення становить так званий модельний (уяв­ний) експеримент, що передбачає:

· побудову уявної моделі об’єкта управління;

· формулювання ідеалізованих умов, що впливають на модель;

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: